Maxwell 流體於簡單剪切流場 (Maxwell Fluid in Simple Shear)

考慮在 x-y 平面，一個具 x 方向均勻剪切之穩態恆溫流動，速度場為 u(γ̇ y, 0, 0)，流體具 Maxwell 行為，其黏度為 η、鬆弛時間為 λ。

(a) 試求 extra-stress tensor 的實質導數 (substantial or material derivative)、對流導數 (convected derivative)。
(b) 推導 Maxwell model 的 extra-stress tensor 的各項，以及三個測黏函數 (viscometric functions)：σ₁₂ = τ(γ̇ )、σ₁₁ - σ₂₂ = N₁(γ̇ )、σ₂₂ - σ₃₃ = N₂(γ̇ )。在什麼情況下 Maxwell 流體的行為接近牛頓流體？

(c) 計算 arbitrary pressure p'、流體靜力壓力 p (hydrostatic pressure)。

<解>

(a) 速度場梯度張量 (velocity field gradient tensor)、其它轉置 (transpose) 分別為 

因為流動是穩態、均勻的，σ' 的物質導數為零

對流的項為 (下標 1、2、3 代表 x、y、z)

因此，upper convected derivative 為

(b) 將上述所有式子代入 Upper convected Maxwell model 後，可寫出以下關係式

[註：Johnson 和 Segalman (1977) 修正 Maxwell model，引入張量 σ' 的 covariant 和 contravariant derivatives

其中，D/Dt 為 covariant time derivative，δ/δt 為 contravariant time derivative。當 a = 0，Eq. 2.197 為 Upper convected Maxwell model]

因為 σ = - p'I + σ'，可得

我們找到了一個正值的第一正向應力差，和一個等於零的第二正向應力差。當第一正向力差 N₁(γ̇ ) (= σ₁₁ - σ₂₂) 相較於剪切應力可忽略時，也就是對應很小的 Weissenberg number，Maxwell 流體的行為如牛頓流體。

(c) 流體靜力壓力 p 為

這個壓力不能被直接量測，故無法知其大小。但是，我們知道 p' = - σ₂₂，此正向應力因此可被嵌裝於流動幾何壁表面的壓力傳感器測得 (pressure transducer flush-mounted at the wall surface of the flow geometry)。

Reference: J-F Agassant, P Avenas, PJ Carreau, B Vergnes, M Vincent, Polymer Processing: Principles and Modeling, 2nd ed (Hanser 2017).