牛頓流體之剪切黏度和拉伸黏度 (Shear Viscosity and Elongational Viscosity of Newtonian Fluids)

對於不可壓縮牛頓流體 (incompressible Newtonian fluids)，應力張量 τ 為 (stress tensor)

(1)

其中，μ 為剪切黏度，γ̇  為應變率張量 (rate-of-strain tensor) 或形變率張量 (rate-of-deformation tensor)。在穩態簡單剪切流場 (steady simple shear flow)

(2)

所以

(3)

應變率張量 γ̇  的大小為

(4)

另一方面，在穩態拉伸流場中(steady elongational flow)，拉伸黏度定義為 (elongational viscosity)

(5)

應變率張量 γ̇ 為

(6)

其中，ε^. 為拉伸率 (elongational rate)，ε^. 為正值時對應單軸拉伸 (uniaxial stretching)，負值對應雙軸拉伸 (biaxial stretching)。對於牛頓流體，由 Eq. 1 可得

(7)

因此

(8)

故拉伸黏度為剪切黏度的 3 倍。應變率張量 γ̇  的大小為

(9)

[註：高分子熔體在單軸拉伸流場的拉伸黏度如 Fig. 8.2-6a 所示，LDPE 具拉伸硬化的特性，故在高拉伸率區間，拉伸黏度遠大於 3 倍的剪切黏度]

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).

牛頓流體之耗散函數 (Dissipation Function for Newtonian Fluids)

Revised: 2022/1/20

在所有流動系統，(- τ:▽v) 這個量描述機械能 (mechanical energy) 降解成熱能 (thermal energy)，有時被稱為黏性耗散生熱 (viscous dissipation heating)。此生熱可以造成高黏度、高速度梯度系統可觀的溫度上升。在直角座標中，(τ:▽v) 可表示成 

(C, Table A.7-1)

將下方 Eqs. B.1-1 至 B.1-6 (generalization of Newton's law of viscosity) 代入 Eq. C，同時使用 Eq. A，且令 (- τ:▽v) = μΦ_v + κΨ_v (μ 是黏度，κ 是膨脹黏度 (dilatational viscosity))

(A, Table A.7-1)

[註：牛頓流體的本質方程式如下方 Eq. 1.2-7 所示]

(1.2-7)

可得 dissipation function Φ_v

以及 Ψv

Ψ_v = (∂v_x/∂x + ∂v_y/∂y + ∂v_z/∂z)²     (1)

此外，對於牛頓流體，(- τ:▽v) 這個項恆為正，因為它可以寫成平方項的和

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).

錐形管之速度分佈 (Velocity Distribution in a Conical Die)

Revised: 2022/4/12

Figure 1 是錐形管模具，中間是漸縮的部分，假設流體在入口、出口均為 Power-law 流體的速度曲線 v_z(r)，即

(1)

錐形管段的半徑變化 R(z) 及其微分，可以分別由下方的式子描述 

(2)

(3)

Figure 1

假設錐形管可以切分成很多的小片段如 Fig. 2 所示，在這些片段中，可以假設管流速度曲線為 Eq. 1，稱為潤滑近似 (lubrication approximation)，嚴格來說此近似僅適用於小的收縮角度 θ。接著引入圓柱座標的連續方程式 (假設不可壓縮流體及 v_ϕ = 0)

(4)

將 Eq. 1 代入後，可得到徑向的速度 v_r(r, z)

(5)

取得軸向 v_z(r, z)、徑向速度 v_r(r, z) 等速度分量後 (Eqs. 1、5)，可估算形變率張量 D (deformation tensor) 的各分量

(6,7)

(6)

其中，

(7, 8)

(9, 10)

(11)

Figure 2

[註]

References: 

(1) L Perko, M Fasching, and W Friesenbichler, Polym. Eng. Sci. 55, 701 (2014).

(2) DM Binding, J. Non-Newtonian Fluid Mech. 27, 173 (1988).

書籍 - Mathematical Handbook of Formulas and Tables (Schaum's Outline Series)

身為理工人，絕對需要一本數學公式手冊在側。推薦由 Spiegel & Liu 所撰寫的 "Mathematical Handbook of Formulas and Tables" (已發行至第五版)，在書中，可輕鬆查到您想要的公式或表格，例如微分或積分公式等。

封面 (International Editions 1999)