流體流動及其壓縮造成之壓力 (Pressure Arising from Fluid Motion and Its Compressibility)

Revised: 2022/3/16

對於流動的流體，分子應力 (molecular stresses) = 壓力 (pressure) + 黏滯應力 (viscous stresses)

其中，𝑝 是熱力學壓力 (thermodynamic pressure)、𝛕 = − 𝜇(∇𝐯 + (∇𝐯)^T) + (2𝜇/3 − 𝜅)(∇ ∙ 𝐯)𝛅，故分子應力 𝛑 可寫成

定義正向應力的平均值 (mean value of normal stresses) 為機械壓力 𝜎 (mechanical pressure)，可以寫成 𝜎 = trace(𝛑)/3，實驗上可直接量測機械壓力

其中，p_motion = 𝜅(∇ ∙ 𝐯) 源於流體流動及可壓縮性造成的壓力；若為不可壓縮流體，則 (∇ ∙ 𝐯) = 0，故 𝜎 = p。

若流體處於膨脹的過程 (expansion)，例如，流體自毛細管入口端流向出口，(∇ ∙ 𝐯) 為正，膨脹黏度 𝜅 (dilatational viscosity) 的效應造成熱力學壓力 𝑝 大於機械壓力 𝜎，壓力差值 (𝑝 - 𝜎) = 𝜅(∇ ∙ 𝐯) = p_motion 阻止流體膨脹。反之，若流體處於壓縮的過程 (compression)，例如流體在 pvT 儀器內進行等壓的降溫實驗，(∇ ∙ 𝐯) 為負，膨脹黏度 𝜅 的效應造成熱力學壓力 𝑝 小於機械壓力 𝜎，壓力差值 p_motion 阻止流體收縮。

Reference: PK Kennedy, R Zheng, Flow Analysis of Injection Molds, 2nd ed (Hanser 2013).

§7.1 巨觀的質量平衡 (The Macroscopic Mass Balance)

在 Fig. 7.0-1 所示的系統中，流體在平面 1 處進入系統 (橫截面 S₁)，並在平面 2 處離開 (橫截面 S₂)。入口平面的平均速度為 <v₁>，出口平面則為 <v₂>。在本節和以下各節中，我們介紹兩個不是很嚴格的假設：(i) 在平面 1 和 2，時間平滑的速度垂直於相關橫截面，並且 (ii) 在平面 1 和 2 處的密度和其他物理特性在橫截面上是均勻的。

這個系統的質量守恆定律是 (the law of conservation of mass)

這裡 m_tot = ∫ρdV 是平面 1 和平面 2 之間，系統中所含流體的總質量 (total mass)。我們現在引入符號 w = ρ<v>S 表示質量流量，以及符號 △w = w₂ - w₁ (出口值減入口值)。然後，非穩態巨觀質量平衡變成 (unsteady-state macroscopic mass balance)

如果流體的總質量不隨時間變化，那麼我們得到穩態巨觀質量平衡 (steady-state macroscopic mass balance)

這就是質量進入的速率等於質量離開的速率的陳述 (ρ₁<v₁>S₁ = ρ₂<v₂>S₂)。

對於巨觀質量平衡，我們使用術語「穩態」("steady state") 表示方程式 Eq. 7.1-2 左側的時間導數為零。在系統內，因為可能有可動零件 (moving parts)、流動不穩定性 (flow instabilities) 和紊流 (turbulence)，因此會有非穩態流動的區域。

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).

§7.2 巨觀的動量平衡 (The Macroscopic Momentum Balance)

我們現在將動量守恆定律 (the law of conservation of momentum) 應用於 Fig. 7.0-1 中的系統，使用 與上一節中提到的相同的兩個假設，加上兩個額外的假設：(iii) 在平面 1 和 2 處，忽略與應力張量 τ 相關的力， 因為與入口和出口平面的壓力相比，它們通常很小，(iv) 壓力在入口和出口平面的橫截面上沒有變化。 

由於動量是一個向量，所以平衡式中的每一項都必須是一個向量。我們使用單位向量 u₁ 和 u₂ 來表示平面 1 和 2 處的流動方向。然後動量守恆可寫成

這裡，P_tot = ∫ρvdV 是系統中的總動量 (total momentum)。該等式說明，系統內的總動量因動量對流進、出系統而改變 (the convection of momentum)，也包括作用在系統上的各種力：壓力在系統兩端的力 (pressure forces)、固體表面作用在系統中流體的力 (the force of the solid surfaces)、以及作用在系統中壁內流體的重力 (the force of gravity)。下標 “s→f” 用於提醒力的方向。

透過引入質量流率的符號和符號 △，我們最終得到非穩態巨觀動量平衡 (unsteady-state macroscopic momentum balance)

如果系統中的總動量不隨時間變化，那麼我們得到穩態巨觀動量平衡 (steady-state macroscopic momentum balance)

我們再次強調這是一個向量方程式 (vector equation)。它對於計算流體作用於固體表面上的力 F_f→s 相當有用，例如作用於彎管 (pipe bend) 或渦輪葉片 (turbine blade) 的力。 事實上，我們已經在 Eq. 6.1-3 中使用了上述方程式的簡化版本。

關於紊流 (turbulent flow) 的注意事項：(i) 對於紊流，通常將 <v> 替換為 <v⁻>、<v²> 替換為 <v^{− 2}>；在後者中，我們忽略了通常很小的項 <v^'2 −> (相較於 <v^{− 2}>)。(ii) 然後我們進一步將 <v^{− 2}>/<v⁻> 替換為 <v⁻>，這樣做的誤差很小；對於 Eq. 5.1-4 的經驗 1/7 冪次律速度曲線，<v^{− 2}>/<v⁻> = 50<v⁻>/49，如此的誤差在 2% 左右。(iii) 當我們做出這個假設時，我們通常會刪除尖括號 (angular brackets) 和橫線 (overbars) 以簡化符號。也就是說，我們會讓 <v₁⁻> ≡ v₁、<v₁^{− 2}> ≡ v₁²，平面 2 的量也進行類似的簡化。

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).

壓力量測裝置 (Pressure-Measurement Devices)

(1) Static-Pressure Manometer

 

Point 1 的壓力為 p₁ = p = p_static = p_atm + ρgh_static

(2) Pitot Tube

Point 1 的壓力為 p₁ = p_stag = p_atm + ρgh_stag

(3) Pitot-Static Tube

Point 1 的壓力為 p₁ = p_static = p_atm + ρgh_static

Point 2 的壓力為 p₂ = p_stag = p_atm + ρgh_stag

[註：Points 1、2 的壓力並不相同，Point 1 是上游流體的壓力，Point 2 是下游流體的壓力，後者反應靜止點的壓力，它包括流體被 Pitot tube 尖端減速停止的貢獻]

其中，h_velocity 也被稱為 h_dynamic，<v> = <v>₁ 是 Point 1 的平均流速

Reference: FA Morrison, An Introduction to Fluid Mechanics (Cambridge 2013).