毛細管黏度計 (Capillary Viscometer) 用於通用流體

毛細管黏度計 (capillary viscometer) 是一種透過壓力來驅動流體於管道流動的裝置 (見 Fig. 1)，收集壓力降 △P 與體積流率 Q (或質量流率) 兩實驗值，便可以得到壁剪切應力 (wall shear stress)、壁剪切率 (wall shear rate = - dv_z(r)/dr|_r=R = 4Q/πR³)，最後作圖求得牛頓液體之黏度 (見 Fig. 4 的 Hagen-Poiseuille 方程式和作圖)。

此處的任務如 Fig. 1 所述，我們卻針對本質方程式未知的流體 (或流速分佈未知)，求其於管壁處的 (i) 剪切應力以及 (ii) 剪切率。

本質方程式未知的流體可視為一種通用流體 (general fluid)，故涵蓋範圍最廣。反觀，牛頓流體 (Newtonian fluid) 或是冪次律流體 (power-law fluid) 的本質方程式已知，故此兩流體是通用流體的特殊例子 (special cases)。為了循序漸進地介紹，以下於第一部分簡述簡單的牛頓流體和冪次律流體之結果，接著於第二部分討論通用流體。

第一部分 牛頓流體和冪次律流體

Figure 1 毛細管黏度計

透過圓柱座標的運動方程式 (equation of motion)，同時假設以下情況
(1) 流動方向是單一方向
(2) 流體是不可壓縮
(3) 性質在 θ 方向是對稱
(4) 毛細管長度夠長，故無端點效應 (end effect)
(5) 應力張量是對稱
(6) 在流動方向 (z)，等效壓力 (equivalent pressure) 隨距離的變化是定值
(7) 在毛細管的中央 (r = 0)，應力值是有限的
(8) 無壁滑效應

最後，我們可以得到通用流體於管壁的剪切應力 (wall shear stress) 表示式，如 Fig. 2。由於其隨徑向位置 r 變，故可得知流體於毛細管中歷經不均勻流場 (inhomogeneous flow)，且在管壁處有最大的應力值。其值取決於等效壓力 (equivalent pressure) 的變化 P₀ - P_L 和管長 L；等效壓力又稱修正壓力 (modified pressure)。

Figure 2 管壁的剪切應力 (> 0)

由下方的黏度表示式可知，為求得流體黏度，我們除了需知道管壁的剪切應力外，還需要知道管壁的剪切率 - dv_z/dr|_r=R (> 0)。為了取得壁剪切率，我們需將流體於管壁 (r =R) 的流速對梯度方向 r 微分。Figure 3 分別列出牛頓流體以及冪次律流體的已知流速表示式，代入黏度公式後，我們可得到牛頓流體與冪次律流體的黏度，其黏度作圖分別如 Figs. 4 及 5 所示。簡單來說，實驗上收集數組體積流率、等效壓力降數據，便可得到管壁剪切率對管壁剪切應力之作圖，最後可由斜率和截距，估算黏度 (μ) 和冪次 (n)。

Figure 3 牛頓流體和冪次律流體之流速表示式

Figure 4 牛頓流體的黏度作圖

Figure 5 冪次律流體的黏度作圖

第二部分 通用流體

對於一個未知性質的非牛頓流體 (即通用流體)，它在管內的流速分佈是未知的，因此，我們需要額外使用特殊的方法，協助我們得到管壁的真實剪切率。如 Fig. 6 所示，一般來說，非牛頓流體 (紫色) 在管壁的剪切率大於牛頓流體 (綠色)，且其速度分佈曲線為塞流 (plug flow)。

Figure 6 流速分佈

對於通用流體，管壁的真實剪切率 (true wall shear rate) 可以使用 Fig. 7 所給的 Weissenberg-Rabinowitsch 方程式估算，它的修正值求法如 Fig. 7 (修正值 = 斜率 = dln(γ ̇_a)/dlnτ_R)。透過 Weissenberg-Rabinowitsch 方程式的修正法，我們可以在不用假設流速分佈的情況下，便可求得非牛頓流體於管壁的真實剪切率。一但有了管壁剪切力和管壁剪切率，我們便可估算通用流體之黏度；Fig. 8 提供了一個由斜率求得 Weissenberg-Rabinowitsch 修正值的例子 (dln(γ ̇_a)/dlnτ_R = 2.0677)；斜率不為定值的例子將另文介紹。然而，對於特殊例子例如牛頓流體，此修正值自動變為 1 (即 dln(γ ̇_a)/dlnτ_R = 1)，Weissenberg-Rabinowitsch 方程式得到預期的壁剪切率如下

γ ̇_a = 4Q/πR³     (1)

Figure 7 Weissenberg-Rabinowitsch 方程式

Figure 8 dln(γ ̇_a)/dlnτ_R = 2.0677

以上所有的黏度公式推導都是基於流體在管壁的性質，如果流體在管壁的性質能代表整個流體的話 (像是高分子熔體或類似的系統)，那麼毛細管黏度計測得的黏度是可以代表整個流體的性質。然而，對於懸浮液、特定高分子熔體、或是其它複雜流體系統，我們必需額外考量其在管壁附近的特殊行為，如邊界滑動 (wall slip) 等。

Reference: FA Morrison, Understanding Rheology (Oxford University Press 2001).