正向力之量測 (Measuring Normal Force)

A. Franck 修訂 (德國 TA Instruments)

關鍵字: 正向力 (normal force)、ARES、第一正向力係數 (1st normal force coefficient)、黏度、錐平板 (cone-plate)

剪切正向應力 (shear normal stresses) 最容易透過旋轉流變儀 (rotational rheometer) 之錐平板 (cone-and-plate) 或平行平板 (parallel plate) 的總推力測得 (total thrust) 。ARES-LS 使用獲得專利的似無限剛性再平衡傳感器測量總推力 (quasi-infinite-stiffness rebalance transducer; 見產品短訊 FRT technology)，並且使用氣態軸承支撐的馬達 (air bearing supported motor)，以減少系統柔量 (system compliance)，同時消除對於滾珠軸承 (ball bearings) 來說非常典型的軸向擺幅 (axial runout)。因此，ARES-LS 流變儀是被專門設計並優化，用來進行準確正向應力之量測。

1. 錐平板夾具 (The Cone Plate Flow Cell)

在錐平板夾具，剪切應變 γ (shear strain) 為

(1)

其中，φ 是旋轉的角度，α 是錐和平板之間的角度 (見 Fig. 1)。對於一個小錐角 sinα = α，所以

(2)

同樣地，剪切速率 γ_dot (shear rate) 可以近似為

(3)

其中，Ω 是角旋轉速率 (angular rotation rate)。即便 α = 0.2 rad (~11.5^o)，這些近似值導致的誤差低於 3%。

在錐體和平板之間的總推力 F_z 給出第一正向應力差 N₁ (first normal stress difference)

(4)

特別注意，對於平行板之間的流動，剪切應變和應變率 (strain rate) 不是定值，而是取決於於徑向位置 r

(5)

和

(6)

其中，h 是兩平板之間的間隙。兩平板之間的總推力取決於第一和第二正向應力差 N₁-N₂

(7)

因此，如果想要使用平行板流變儀準確評估 N₁-N₂，不僅需要量測總推力 F_z，也需要知道它如何隨剪切速率或旋轉速率改變。對於 1 < dlnF_z/dln(γ_R_dot) < 2.5 [1]，上式變成

(8)

其中，N₁-N₂ 被估算於 γ_r = 0.76γ_R。若有分別來自錐平板、平行平板的準確 N₁、N₁-N₂ 數據，則 N₂ 可自兩者差值決定。

2. 第一正向應力差 N₁ 之量測 (Measurement of N₁)

儘管上面給的方程式相當直觀，仍必須小心才能取得準確的正向應力量測數據。最常見的問題來自高溫下高黏性、彈性樣品 (通常是高分子熔體) [2]，由於高分子在自由表面 (free surface)上不穩定，因此很難達到高剪切速率。若透過使用較小的錐角 (或平行板間隙 h)，則可以達到較高的剪切速率。但是，小的錐角會導致瞬態 (時間相依) 測試嚴重的誤差。正向推力會導致儀器略微偏移 (deflect)，將間隙推開一點，然後樣品流向錐體的中心位置。這個橫流 (cross flow) 延緩了真正的正向力讀值。錐角度越小，材料需要流動的時間越長。此效應對啟動實驗 (start-up experiment) 的正向應力影響如 Fig. 2 所示。經過 15 秒後，所有五個錐體的測試數據相同；但是，真正的短時間正向力過衝 (overshoot) 僅在錐角為 0.1 rad 或更大的情況下被記錄 [3]。根據 Hansen & Nazem [4]，儀器的響應時間 (instrument response time) 可以透過以下方式估算

(9)

為了獲得良好的瞬態正向應力響應，λ_inst 必須很小。ARES LS 使用獨特的再平衡傳感器以提供高剛性 (high stiffness) K_z = 1 kgf/μm，但仍具高靈敏度。從 Eq. 9 可清楚了解增加錐角的強效應，也可以在 Fig. 2 清楚可見。減少半徑也有助於減少 λ_inst。對於高分子熔體，錐角 α > 0.1 rad 和 R < 12.5 mm 是 ARES 系統的最佳幾何，對於黏度 10⁴ Pa∙s 的熔體可以達到系統響應時間 < 1 s。

更高的系統剛性，僅會稍微影響系統的響應時間，卻會使正向力量測幾乎變成不可能，這是由於溫度引起的雜訊 (即密度波動)。對於典型的高分子熔體，膨脹係數 10^-4 1/℃ (expansion coefficient)、溫度波動 0.1℃，可引起膨脹波動 0.2 μm (dilatation fluctuations) (平行板間隙 2 mm)。剛性系統中的這些波動疊加在真正的正向力測量，因此可以明顯減少系統正向力靈敏度。

小錐角或小間隙以及高黏度樣品的另一個問題是儀器的對準 (instrument alignment)。小間隙也使樣品難以被填補，有時可能要花幾個小時才能使應力鬆弛，特別是當材料具有屈服應力 (yield stress)。ARES 的自動間隙功能 (AutoGap function) 可以協助自動填補高黏性樣品，但是，如何減少樣品填補時間的最好解決方案是將樣品預成型 (pre-mold a specimen) 至正確的尺寸，然後罝入錐體和平板之間。

測量低黏度系統 (例如高分子溶液) 的正向應力雖然較容易，但仍具有陷阱 (pitfalls)。高轉速時，流體本身的慣性 (inertia) 會導致一個與彈性力 (elastic force) 相反方向的正向力 [5]。此影響可以通過以下方式大致修正

(10)

最佳的邊界條件是使用一個錐體和一個具相同直徑的平板，並把樣品填補至邊緣；見 Fig. 1。如果使用一個較大的平板，溢流 (flooded) 情況將發生並造成較高的 N₁ 讀值。

3. 實驗提示 (Experimental Hints)

對於高黏度材料，最好在高於最終間隙設定值 20 至 50 mm 的位置修整樣品 (trim the sample)。在最後的間隙設定值，修整操作過程中產生的孔洞 (holes) 和裂縫 (fissures) 被
再次填補。很重要的一點是，因為外半徑 (outer radius) 對總力有非常大的貢獻 (即扭矩 (torque))。對於低黏度流體，溢流情況較容易控制，從而改善測試結果的可重複性，缺點是結果具系統性錯誤 (systematic error)。

4. LDPE 的典型結果

Figure 3 呈現一個標準 LDPE 在不同剪切速率下，黏度和第一正向應力曲線，請注意，正向力無法到達穩態。當施加高剪切速率時，黏度以及正向力曲線呈現過衝；在低剪切速率時，所有數據疊合成一條線性黏彈曲線。

5. 參考文獻 (References)

1. Carvallo, M.S., Padmanabhan, M., Macosko, C.W., J. Rheol., 1994, 38, 1925.
2. Macosko, C.W., Rheology: Principles, Measurement and Applications, VCH Publishers: New York, 1994, chap. 5, 8.
3. Meissner, J.J. Appl. Polym. Sci., 1972, 16, 2877.
4. Nazem, F., Hansen, M.G., J. Appl. Polym. Sci., 1976, 20, 1355.
5. Kulicke, W.M., Kiss, G., Porter, R.S., Rheol. Acta 1977, 16, 568.

Reference: A. Franck, "Measuring normal force," TA Instruments Germany.