受限流 (Confined Flows)

本文探討黏彈效應 (viscoelastic effects) 在各種受限幾何 (confined geometries) 下形成的流場，Figure 4.1 是相關的幾何。在很多流動中，因為雷諾數夠大，所以慣性效應很重要 (inertial effects)，我們主要的興趣在於了解不同流動下，流體慣性與黏彈性的交互作用，有時甚至也會與剪切速率相依的黏度 (shear-rate dependent viscosity) 有關而更顯複雜。

所有在 Fig. 4.1 的幾何基本上可被視為二維的，不過有些證據已顯示，具高彈性的液體在高流率下會有三維的效應。

典型的受限幾何

1. 流經一個洞口 (Flow Over a Hole)

Figures 4.2 至 4.4 是牛頓流體與黏彈 Boger 流體流經一個方形洞和一個深洞的流線圖。如 Fig. 4.2 所示，當雷諾數極低而牛頓流體無法產生可觀察的非對稱時，黏彈流體卻可輕易產生非對稱。另外，值得注意的是，如 Fig. 4.4 所示，流體慣性造成漩渦的非對稱 (asymmetry) 通常可以被流體彈性所反制 (counteracted by fluid elasticity)，即慣性與彈性將產生方向相反的非對稱 (opposing asymmetries)。 

流經方形洞。雷諾數在圖 a 的牛頓流體和圖 b 的黏彈 Boger 流體中相同，黏彈性的存在造成很強的非對稱 (圖 b)，反觀牛頓流體基本上呈對稱 (圖 a) 

流經深洞。雷諾數在圖 a 的牛頓流體是圖 b 的黏彈 Boger 流體的十倍

圖 a 和 c 是不同流速下的牛頓流體，圖 b 和 d 是不同流速下的黏彈 Boger 流體。可以發現牛頓流體中的非對稱與黏彈流體不相同

2. 混合與分離的合併流場 (Combined Mixing and Separating Flow)

Figure 4.1c 的混合與分離合併流場可以示範有趣的黏彈行為。Figures 4.5 和 4.6 呈現固定流率下，三種不同間隙 l 的流線。大致上，有些液體進入測試區 (test section) 後仍持續朝原來的單一方向流動 (unidirectional)，但有些則朝反向流動 (reversed)。

不意外地，當 l 越小，單一方向流動是更加顯著。相較於牛頓流體，彈性流體不喜歡反向的流動 (reversed flow)，故單一方向流動在非牛頓流體 (Fig. 4.6) 較牛頓流體明顯 (Fig. 4.5)，即彈性流體不喜歡改變方向。另外，相較於牛頓流體，彈性流體中也較難產生對稱的流動圖案。

牛頓流體。圖 a 至 c 間隙 l 漸減，大致呈現對稱的流動

黏彈 Boger 流體。圖 a 至 c 間隙 l 漸減，高度彈性流體不喜歡反向的流動，且難以維持對稱的流動

3. 流經反對稱障礙物陣列的通道 (Flow in a Channel Obstructed by an Antisymmetric Array of Obstacles)

基本的幾何如 Fig. 4.1e 和 f 所示。Figure 4.7 至 4.10 比較與對比三仙膠水溶液 (xanthan gum) 和聚丙烯醯胺水溶液 (polyacrylamide) 的流動，透過選擇適當的濃度，可使兩溶液具有相似的剪切黏度響應 (similar shear-viscosity response)。但是，聚丙烯醯胺水溶液具有較大的正向應力 (normal stresses) 和較高的拉伸黏度 (extensional viscosities)，故較具彈性 (more elastic)。 

聚丙烯醯胺水溶液。可以發現溶液較不願意通過窄間隙 (即圓柱與最接近壁之間的收縮流)，這是因為高拉伸黏度所導致

牛頓流體 (a)、三仙膠溶液 (b)、聚丙烯醯胺溶液 (c)。剪切致稀效應使三仙膠溶液易通過窄間隙，反觀，高拉伸黏度使聚丙烯醯胺溶液不易通過

三仙膠溶液 (a)、聚丙烯醯胺溶液 (b)。在相同雷諾數下，結論同 Fig. 4.8。另外，兩溶液的尾流 (wake) 也不盡相同

三仙膠溶液 (a)、聚丙烯醯胺溶液 (b) 於方形障礙物幾何。結論相同於 Fig. 4.9 的圓柱障礙物幾何，即聚丙烯醯胺溶液在主流道快速流動，卻在間隙處幾乎呈現靜止狀態

4. 流經一個 T 幾何 (Flow in a "T" Geometry)

Figure 4.11 是 T 幾何的三維圖示。Figure 4.12 是流動過衝的例子 (flow overshoot)，常現於高彈性流體。當流體自 F1、F2 進入給料臂 (feeder arms)，不論是固定黏度的 Boger 流體或剪切致稀的高分子溶液，均呈現流動結構的豐富性 (flow structure)，見 Figs. 4.13 和 4.14 。

T 幾何。F1、F2、F3 為流體於給料臂 (feeder arms) 的流動方向

流體自 F1 進入，於 F2 和 F3 離開。圖 A 為牛頓流體，圖 B 為彈性 Boger 流體。在雷諾數接近的情況下，Boger 流體呈現黏彈過衝行為 (viscoelastic overshoot)，再次說明彈性流體不喜歡改變流動方向 (可參考 Fig. 4.6)

固定黏度的 Boger 流體自 F1、F2 進入，於 F3 離開。於圖 A，F1 流率較 F2 多一半；於圖 B，F1 流率等於 F2 (漩渦較小)

剪切致稀的高分子溶液自 F1、F2 進入，於 F3 離開。於圖 A，F1 流率是 F2 的兩倍；於圖 B，F1 流率等於 F2。此處的漩渦較 Fig. 4.13 的 Boger 流體明顯許多

5. 流經圓柱和圓球 (Flow Past Cylinders and Spheres)

流體通過圓柱或圓球的幾何如 Fig. 4.1d 所示。Figure 4.16 呈現黏彈效應將強化流場的非對稱。Figure 4.18 呈現剪切致稀流體通過圓柱時，流線如何受到 Weissenberg 數 (We) 的大小而向下游或上游偏移。Figure 4.19 呈現流體通過圓球時，黏彈效應對尾流 (wake) 的影響。

流體通過圓柱 (置於稍微不對稱的位置)。於圖 a，非對稱流場在牛頓流體中並不明顯；於圖 b 和 c，在 Boger 流體卻可清楚觀察到黏彈性強化非對稱流場的現象

剪切致稀流體通過圓柱時，流線將受到 Weissenberg 數值大小 (We) 而向下游 (圖 a) 或上游 (圖 b) 偏移

流體通過圓球。在雷諾數為 170 下，圖的上半部、下半部分別是牛頓流體、黏彈流體於圓球後方產生的尾流 (wake)，黏彈流體產生的尾流明顯較短

6. 高雷諾數的流動 (High Reynolds Number Flows)

Figure 4.21 呈現高分子做為降阻劑 (drag-reducing agents) 對流場產生的效應，降阻高分子可明顯改變周圍的流場 (比較 Figs. 4.21c 和 f)。Figure 4.22 呈現水中加入數 ppm 的高分子後，具有抑制紊流的功能。

Figure 4.24 呈現漩渦的剝離現象 (vortex shedding)，於水中加入高分子或界面活性劑後，可抑制小尺度的紊流 (small-scale turbulence)。Figure 4.26 呈現水躍 (hydraulic jump)，加入低濃度的高分子於水中可抑制泡泡的夾帶 (bubble entrainment)。

 

降阻現象 (drag reduction): 圖 a 至 c 為水，圖 d 至 f 為 200 ppm polyethylene oxide 水溶液。對照圖 c 和圖 f 可明顯看出少量的高分子降阻劑造成之流場差異

紊流抑制現象 (turbulence suppression): 原來在水中的小尺度紊流 (圖 a)，可在加入微量 polyacrylamide 於水中後被抑制 (圖 b)

漩渦剝離現象 (vortex shedding): 原來在水中的小尺度紊流 (圖 a)，可在水中加入微量 polyacrylamide (圖 b) 或界面活性劑 (圖 c) 後被抑制

水躍 (hydraulic jump): 加入低濃度的高分子於水中可抑制泡泡的夾帶 (bubble entrainment)

7. Hele-Shaw Cell 的徑向流 (Radial Flow in a Hele-Shaw Cell)

Hele-Shaw cell 被用來得到 Figure 4.27 的圖案，先於 cell 的中心注入並注滿第一種流體，接著再注入第二種流體 (通常含有色顏料 (dyed pusher))，可觀察到類碎形圖案 (fractal-like patterns) 或指狀流圖案 (fingering patterns)。 

指狀流圖案 (fingering patterns)。圖 a、b (黏度比值相異)，均為牛頓流體注入已填滿 cell 的剪切致稀及彈性流體中；圖 c，牛頓流體注入已填滿 cell 的牛頓流體中；圖 d，Boger 流體注入已填滿 cell 的牛頓流體中

Reference: DV Boger, K Walters, Rheological Phenomena in Focus (Elsever 1993).

收縮和擴張流 (Contraction and Expansion Flows)

本文將介紹非牛頓流體在以下三種情況所產生的特殊流場 (流線)，包括 (1) 軸對稱的收縮流 (flow through axisymmetric contractions)、(2) 平面的收縮流 (flow through planar contractions)、(3) 擴張流 (flow through expansions)。

1. 軸對稱的收縮流 (Flow through Axisymmetric Contractions)

Figure 3.1 是入口型的圓管突縮簡圖 (abrupt-entry circular contraction)，流體自左側的寬管 (上游) 流入右側的窄管 (下游)。

Figure 3.2 是一個非牛頓流體的收縮流流線圖，管徑比為 4 比 1。在沒有剪切率相依黏度效應 (no shear-rate dependent viscosity effects) 以及沒有流體慣性的情況下 (no fluid inertia，即雷諾數 Re << 1 的蠕流)，我們可以清楚看到流體彈性 (fluid elasticity) 對流場 (flow field) 之影響。

Figure 3.2 呈現 Boger 流體 (Boger fluid) 之渦流成長 (vortex growth) 隨著剪切率和 Weissenberg 數 (We) 之增加而更加明顯。這樣的副流漩渦 (secondary flow vortex)，將增加入口處的壓降值。當 We 大於 Fig. 3.2d 對應的 We = 0.204，管中的渦流將開始變成非對稱 (asymmetric) 並在管壁間轉動 (rotate)；類似 Fig. 3.13。

非牛頓流體的流線圖。由圖 a 至 d 流速漸增，但 Re 值均遠小於 1，故為蠕流 (creeping flow)；當 We 值接近於 1 (圖 c)，開始產生明顯的副流，此為流體的彈性效應所導致

流動不穩性造成的旋轉流

反觀，如果沒有流體的彈性效應，流場將如 Fig. 1.3 的無彈性牛頓流體所示 (inelastic Newtonian fluid)，僅在角落存在小漩渦。

牛頓流體的流線圖；圖 a 使用顏料 (早期)、圖 b 使用反射的示蹤粒子 (較近期)

從 Fig. 3.10 可看出，流場對重入角落 (re-entrant corner) 的幾何相當敏感，其形狀將影響最終的流動型式。

當重入角落的角度變鈍後 (圖 b)，渦流消失

在漸縮 (tappeed) 的入口流，也同樣可以觀察到漩渦的生成，如 Fig. 3.11 所示。有趣的是，當入口角度 (entry angle) 逐漸變小，漩渦有可能因此而消失，如 Fig. 3.12 所示。因此，當擠壓高分子熔體時，為了使流率最大化，並且避開彈性所造成的流動不穩定，我們可以設計較小的入口角度。

漸縮的入口流。由圖 a 至 d 流速漸增，渦流也隨之出現

由圖 a 至 d，入口角度逐漸變小，渦流也隨之消失

事實上，並非只有包含高分子量分子的熔體或溶液，才能在入口流產生大的漩渦。如 Fig. 3.14 所示，含有 0.045% 體積分率的 3 mm 玻璃纖維懸浮液 (glass fibres)，也能夠產生明顯的二次流漩渦。特別注意，這種直邊界的漩渦 (straight-boundary vortex) 大小基本上不隨流率增加而變化 (比較 Fig. 3.14 的圖 a 和 b)。

[註: Fig. 3.2 的非牛頓流體屬凹面的邊界 (concave boundary)；Fig. 1.3 的牛頓流體屬凸面的邊界 (convex boundary；Fig. 3.14 的懸浮液屬直的邊界 (straight boundary)。]

0.045% 體積分率的 3 mm 玻璃纖維懸浮液 (glass fibres)，也能夠產生明顯的二次流漩渦

2. 平面的收縮流 (Flow through Planar Contractions)

從實際的觀點來看，二維幾何 (two-dimensional geometries) 幾乎是不可能被建立的；不過，我們可以讓第三個維度的的尺寸夠大，致使三維的效應在主要的流場觀察區域不是那麼的重要。如 Fig. 3.19 所示，當 h >> W_u，可被視為一個典型的二維收縮 (two-dimensional contraction)。

如同上方介紹軸對稱收縮流的流場多樣性，我們亦可於平面收縮看到類似的流場，如 Figs. 3.20、3.21、3.24 所示。漩渦的強化機制明顯是一個與流變、收縮比、流率相關的複雜函數。再者，我們可於 Fig. 3.25 看到，流場與重入角落的幾何 (geometry at the re-entrant corners) 有很大的相依性，當重入角落的角度變鈍，甚至可導致漩渦的消失。

典型的平面收縮幾何。如果 h >> W_u，可於陰影平面觀察到二維流動 (two-dimensional flow)。收縮比為 W_u/W，其中 W 是狹縫寬度 (slit width)、h 是狹縫邊緣長度

平面收縮流的漩渦生成 (W = 2 mm、h = 15 mm)

當流速增加 (圖 A 至 F)，漩渦的大小逐漸增加

當流速增加 (圖 A 至 F)，流體慣性使漩渦逐漸消失

若將重入角 (re-entrant corner) 的角度變鈍，可致使漩渦消失 (圖右側)

3. 擴張流 (Flow through Expansions)

在擴張流下，流體慣性和黏彈性通常與在收縮流下的角色正好相反，也就是說，慣性將促使漩渦的生成，而黏彈性傾向抑制渦流。Figure 3.27 的雙擴張幾何 (double expansion geometry) 可用於探討此現象，流體自下方的方形截面通道 (a channel of square cross section)，透過一個位於中間的狹縫 (intermediate slit)，產生三維擴張流，最後流至上方的方形截面通道，產生二維擴張流。

Figure 3.28 是牛頓流體的三維擴張流，我們可以發現流體慣性可以造成相當大的漩渦；相反地，黏彈性能夠抑制渦流現象則可見於 Fig. 3.29。當然，同樣的故事也可在二維擴張流中被重現。

雙擴張幾何

隨著流速增加 (圖 a 至 d)，牛頓流體生成越來越大的漩渦，圖 d 對應最大 Re = 200

於擴張流中，隨著流速增加 (圖 a 至 d)，牛頓流體中所生成的漩渦 (Fig. 3.28) 未出現於此圖的黏彈性流體中。這樣的結果與收縮流正好相反，在收縮流中，黏彈性是漩渦生成的主因，而流體慣性則是抑制渦流的形成

Figure 3.32 是一種剪切致稀彈性流體流入同質液體的大儲存槽時，於高流率下發生有趣的似樹噴射流現象 (tree-like jet phenomenon)。Figure 3.33 是兩種不同黏度的牛頓流體在擴張流下的共擠出 (co-extrusion)，當兩流體黏度差異越大時，漩渦的大小也隨之增加。

似樹噴射流現象 (tree-like jet phenomenon)

兩種不同黏度的牛頓流體在擴張流下的共擠出 (co-extrusion)

Reference: DV Boger, K Walters, Rheological Phenomena in Focus (Elsever 1993).