受限流 (Confined Flows)

本文探討黏彈效應 (viscoelastic effects) 在各種受限幾何 (confined geometries) 下形成的流場，Figure 4.1 是相關的幾何。在很多流動中，因為雷諾數夠大，所以慣性效應很重要 (inertial effects)，我們主要的興趣在於了解不同流動下，流體慣性與黏彈性的交互作用，有時甚至也會與剪切速率相依的黏度 (shear-rate dependent viscosity) 有關而更顯複雜。

所有在 Fig. 4.1 的幾何基本上可被視為二維的，不過有些證據已顯示，具高彈性的液體在高流率下會有三維的效應。

典型的受限幾何

1. 流經一個洞口 (Flow Over a Hole)

Figures 4.2 至 4.4 是牛頓流體與黏彈 Boger 流體流經一個方形洞和一個深洞的流線圖。如 Fig. 4.2 所示，當雷諾數極低而牛頓流體無法產生可觀察的非對稱時，黏彈流體卻可輕易產生非對稱。另外，值得注意的是，如 Fig. 4.4 所示，流體慣性造成漩渦的非對稱 (asymmetry) 通常可以被流體彈性所反制 (counteracted by fluid elasticity)，即慣性與彈性將產生方向相反的非對稱 (opposing asymmetries)。 

流經方形洞。雷諾數在圖 a 的牛頓流體和圖 b 的黏彈 Boger 流體中相同，黏彈性的存在造成很強的非對稱 (圖 b)，反觀牛頓流體基本上呈對稱 (圖 a) 

流經深洞。雷諾數在圖 a 的牛頓流體是圖 b 的黏彈 Boger 流體的十倍

圖 a 和 c 是不同流速下的牛頓流體，圖 b 和 d 是不同流速下的黏彈 Boger 流體。可以發現牛頓流體中的非對稱與黏彈流體不相同

2. 混合與分離的合併流場 (Combined Mixing and Separating Flow)

Figure 4.1c 的混合與分離合併流場可以示範有趣的黏彈行為。Figures 4.5 和 4.6 呈現固定流率下，三種不同間隙 l 的流線。大致上，有些液體進入測試區 (test section) 後仍持續朝原來的單一方向流動 (unidirectional)，但有些則朝反向流動 (reversed)。

不意外地，當 l 越小，單一方向流動是更加顯著。相較於牛頓流體，彈性流體不喜歡反向的流動 (reversed flow)，故單一方向流動在非牛頓流體 (Fig. 4.6) 較牛頓流體明顯 (Fig. 4.5)，即彈性流體不喜歡改變方向。另外，相較於牛頓流體，彈性流體中也較難產生對稱的流動圖案。

牛頓流體。圖 a 至 c 間隙 l 漸減，大致呈現對稱的流動

黏彈 Boger 流體。圖 a 至 c 間隙 l 漸減，高度彈性流體不喜歡反向的流動，且難以維持對稱的流動

3. 流經反對稱障礙物陣列的通道 (Flow in a Channel Obstructed by an Antisymmetric Array of Obstacles)

基本的幾何如 Fig. 4.1e 和 f 所示。Figure 4.7 至 4.10 比較與對比三仙膠水溶液 (xanthan gum) 和聚丙烯醯胺水溶液 (polyacrylamide) 的流動，透過選擇適當的濃度，可使兩溶液具有相似的剪切黏度響應 (similar shear-viscosity response)。但是，聚丙烯醯胺水溶液具有較大的正向應力 (normal stresses) 和較高的拉伸黏度 (extensional viscosities)，故較具彈性 (more elastic)。 

聚丙烯醯胺水溶液。可以發現溶液較不願意通過窄間隙 (即圓柱與最接近壁之間的收縮流)，這是因為高拉伸黏度所導致

牛頓流體 (a)、三仙膠溶液 (b)、聚丙烯醯胺溶液 (c)。剪切致稀效應使三仙膠溶液易通過窄間隙，反觀，高拉伸黏度使聚丙烯醯胺溶液不易通過

三仙膠溶液 (a)、聚丙烯醯胺溶液 (b)。在相同雷諾數下，結論同 Fig. 4.8。另外，兩溶液的尾流 (wake) 也不盡相同

三仙膠溶液 (a)、聚丙烯醯胺溶液 (b) 於方形障礙物幾何。結論相同於 Fig. 4.9 的圓柱障礙物幾何，即聚丙烯醯胺溶液在主流道快速流動，卻在間隙處幾乎呈現靜止狀態

4. 流經一個 T 幾何 (Flow in a "T" Geometry)

Figure 4.11 是 T 幾何的三維圖示。Figure 4.12 是流動過衝的例子 (flow overshoot)，常現於高彈性流體。當流體自 F1、F2 進入給料臂 (feeder arms)，不論是固定黏度的 Boger 流體或剪切致稀的高分子溶液，均呈現流動結構的豐富性 (flow structure)，見 Figs. 4.13 和 4.14 。

T 幾何。F1、F2、F3 為流體於給料臂 (feeder arms) 的流動方向

流體自 F1 進入，於 F2 和 F3 離開。圖 A 為牛頓流體，圖 B 為彈性 Boger 流體。在雷諾數接近的情況下，Boger 流體呈現黏彈過衝行為 (viscoelastic overshoot)，再次說明彈性流體不喜歡改變流動方向 (可參考 Fig. 4.6)

固定黏度的 Boger 流體自 F1、F2 進入，於 F3 離開。於圖 A，F1 流率較 F2 多一半；於圖 B，F1 流率等於 F2 (漩渦較小)

剪切致稀的高分子溶液自 F1、F2 進入，於 F3 離開。於圖 A，F1 流率是 F2 的兩倍；於圖 B，F1 流率等於 F2。此處的漩渦較 Fig. 4.13 的 Boger 流體明顯許多

5. 流經圓柱和圓球 (Flow Past Cylinders and Spheres)

流體通過圓柱或圓球的幾何如 Fig. 4.1d 所示。Figure 4.16 呈現黏彈效應將強化流場的非對稱。Figure 4.18 呈現剪切致稀流體通過圓柱時，流線如何受到 Weissenberg 數 (We) 的大小而向下游或上游偏移。Figure 4.19 呈現流體通過圓球時，黏彈效應對尾流 (wake) 的影響。

流體通過圓柱 (置於稍微不對稱的位置)。於圖 a，非對稱流場在牛頓流體中並不明顯；於圖 b 和 c，在 Boger 流體卻可清楚觀察到黏彈性強化非對稱流場的現象

剪切致稀流體通過圓柱時，流線將受到 Weissenberg 數值大小 (We) 而向下游 (圖 a) 或上游 (圖 b) 偏移

流體通過圓球。在雷諾數為 170 下，圖的上半部、下半部分別是牛頓流體、黏彈流體於圓球後方產生的尾流 (wake)，黏彈流體產生的尾流明顯較短

6. 高雷諾數的流動 (High Reynolds Number Flows)

Figure 4.21 呈現高分子做為降阻劑 (drag-reducing agents) 對流場產生的效應，降阻高分子可明顯改變周圍的流場 (比較 Figs. 4.21c 和 f)。Figure 4.22 呈現水中加入數 ppm 的高分子後，具有抑制紊流的功能。

Figure 4.24 呈現漩渦的剝離現象 (vortex shedding)，於水中加入高分子或界面活性劑後，可抑制小尺度的紊流 (small-scale turbulence)。Figure 4.26 呈現水躍 (hydraulic jump)，加入低濃度的高分子於水中可抑制泡泡的夾帶 (bubble entrainment)。

 

降阻現象 (drag reduction): 圖 a 至 c 為水，圖 d 至 f 為 200 ppm polyethylene oxide 水溶液。對照圖 c 和圖 f 可明顯看出少量的高分子降阻劑造成之流場差異

紊流抑制現象 (turbulence suppression): 原來在水中的小尺度紊流 (圖 a)，可在加入微量 polyacrylamide 於水中後被抑制 (圖 b)

漩渦剝離現象 (vortex shedding): 原來在水中的小尺度紊流 (圖 a)，可在水中加入微量 polyacrylamide (圖 b) 或界面活性劑 (圖 c) 後被抑制

水躍 (hydraulic jump): 加入低濃度的高分子於水中可抑制泡泡的夾帶 (bubble entrainment)

7. Hele-Shaw Cell 的徑向流 (Radial Flow in a Hele-Shaw Cell)

Hele-Shaw cell 被用來得到 Figure 4.27 的圖案，先於 cell 的中心注入並注滿第一種流體，接著再注入第二種流體 (通常含有色顏料 (dyed pusher))，可觀察到類碎形圖案 (fractal-like patterns) 或指狀流圖案 (fingering patterns)。 

指狀流圖案 (fingering patterns)。圖 a、b (黏度比值相異)，均為牛頓流體注入已填滿 cell 的剪切致稀及彈性流體中；圖 c，牛頓流體注入已填滿 cell 的牛頓流體中；圖 d，Boger 流體注入已填滿 cell 的牛頓流體中

Reference: DV Boger, K Walters, Rheological Phenomena in Focus (Elsever 1993).