收縮和擴張流 (Contraction and Expansion Flows)

本文將介紹非牛頓流體在以下三種情況所產生的特殊流場 (流線)，包括 (1) 軸對稱的收縮流 (flow through axisymmetric contractions)、(2) 平面的收縮流 (flow through planar contractions)、(3) 擴張流 (flow through expansions)。

1. 軸對稱的收縮流 (Flow through Axisymmetric Contractions)

Figure 3.1 是入口型的圓管突縮簡圖 (abrupt-entry circular contraction)，流體自左側的寬管 (上游) 流入右側的窄管 (下游)。

Figure 3.2 是一個非牛頓流體的收縮流流線圖，管徑比為 4 比 1。在沒有剪切率相依黏度效應 (no shear-rate dependent viscosity effects) 以及沒有流體慣性的情況下 (no fluid inertia，即雷諾數 Re << 1 的蠕流)，我們可以清楚看到流體彈性 (fluid elasticity) 對流場 (flow field) 之影響。

Figure 3.2 呈現 Boger 流體 (Boger fluid) 之渦流成長 (vortex growth) 隨著剪切率和 Weissenberg 數 (We) 之增加而更加明顯。這樣的副流漩渦 (secondary flow vortex)，將增加入口處的壓降值。當 We 大於 Fig. 3.2d 對應的 We = 0.204，管中的渦流將開始變成非對稱 (asymmetric) 並在管壁間轉動 (rotate)；類似 Fig. 3.13。

非牛頓流體的流線圖。由圖 a 至 d 流速漸增，但 Re 值均遠小於 1，故為蠕流 (creeping flow)；當 We 值接近於 1 (圖 c)，開始產生明顯的副流，此為流體的彈性效應所導致

流動不穩性造成的旋轉流

反觀，如果沒有流體的彈性效應，流場將如 Fig. 1.3 的無彈性牛頓流體所示 (inelastic Newtonian fluid)，僅在角落存在小漩渦。

牛頓流體的流線圖；圖 a 使用顏料 (早期)、圖 b 使用反射的示蹤粒子 (較近期)

從 Fig. 3.10 可看出，流場對重入角落 (re-entrant corner) 的幾何相當敏感，其形狀將影響最終的流動型式。

當重入角落的角度變鈍後 (圖 b)，渦流消失

在漸縮 (tappeed) 的入口流，也同樣可以觀察到漩渦的生成，如 Fig. 3.11 所示。有趣的是，當入口角度 (entry angle) 逐漸變小，漩渦有可能因此而消失，如 Fig. 3.12 所示。因此，當擠壓高分子熔體時，為了使流率最大化，並且避開彈性所造成的流動不穩定，我們可以設計較小的入口角度。

漸縮的入口流。由圖 a 至 d 流速漸增，渦流也隨之出現

由圖 a 至 d，入口角度逐漸變小，渦流也隨之消失

事實上，並非只有包含高分子量分子的熔體或溶液，才能在入口流產生大的漩渦。如 Fig. 3.14 所示，含有 0.045% 體積分率的 3 mm 玻璃纖維懸浮液 (glass fibres)，也能夠產生明顯的二次流漩渦。特別注意，這種直邊界的漩渦 (straight-boundary vortex) 大小基本上不隨流率增加而變化 (比較 Fig. 3.14 的圖 a 和 b)。

[註: Fig. 3.2 的非牛頓流體屬凹面的邊界 (concave boundary)；Fig. 1.3 的牛頓流體屬凸面的邊界 (convex boundary；Fig. 3.14 的懸浮液屬直的邊界 (straight boundary)。]

0.045% 體積分率的 3 mm 玻璃纖維懸浮液 (glass fibres)，也能夠產生明顯的二次流漩渦

2. 平面的收縮流 (Flow through Planar Contractions)

從實際的觀點來看，二維幾何 (two-dimensional geometries) 幾乎是不可能被建立的；不過，我們可以讓第三個維度的的尺寸夠大，致使三維的效應在主要的流場觀察區域不是那麼的重要。如 Fig. 3.19 所示，當 h >> W_u，可被視為一個典型的二維收縮 (two-dimensional contraction)。

如同上方介紹軸對稱收縮流的流場多樣性，我們亦可於平面收縮看到類似的流場，如 Figs. 3.20、3.21、3.24 所示。漩渦的強化機制明顯是一個與流變、收縮比、流率相關的複雜函數。再者，我們可於 Fig. 3.25 看到，流場與重入角落的幾何 (geometry at the re-entrant corners) 有很大的相依性，當重入角落的角度變鈍，甚至可導致漩渦的消失。

典型的平面收縮幾何。如果 h >> W_u，可於陰影平面觀察到二維流動 (two-dimensional flow)。收縮比為 W_u/W，其中 W 是狹縫寬度 (slit width)、h 是狹縫邊緣長度

平面收縮流的漩渦生成 (W = 2 mm、h = 15 mm)

當流速增加 (圖 A 至 F)，漩渦的大小逐漸增加

當流速增加 (圖 A 至 F)，流體慣性使漩渦逐漸消失

若將重入角 (re-entrant corner) 的角度變鈍，可致使漩渦消失 (圖右側)

3. 擴張流 (Flow through Expansions)

在擴張流下，流體慣性和黏彈性通常與在收縮流下的角色正好相反，也就是說，慣性將促使漩渦的生成，而黏彈性傾向抑制渦流。Figure 3.27 的雙擴張幾何 (double expansion geometry) 可用於探討此現象，流體自下方的方形截面通道 (a channel of square cross section)，透過一個位於中間的狹縫 (intermediate slit)，產生三維擴張流，最後流至上方的方形截面通道，產生二維擴張流。

Figure 3.28 是牛頓流體的三維擴張流，我們可以發現流體慣性可以造成相當大的漩渦；相反地，黏彈性能夠抑制渦流現象則可見於 Fig. 3.29。當然，同樣的故事也可在二維擴張流中被重現。

雙擴張幾何

隨著流速增加 (圖 a 至 d)，牛頓流體生成越來越大的漩渦，圖 d 對應最大 Re = 200

於擴張流中，隨著流速增加 (圖 a 至 d)，牛頓流體中所生成的漩渦 (Fig. 3.28) 未出現於此圖的黏彈性流體中。這樣的結果與收縮流正好相反，在收縮流中，黏彈性是漩渦生成的主因，而流體慣性則是抑制渦流的形成

Figure 3.32 是一種剪切致稀彈性流體流入同質液體的大儲存槽時，於高流率下發生有趣的似樹噴射流現象 (tree-like jet phenomenon)。Figure 3.33 是兩種不同黏度的牛頓流體在擴張流下的共擠出 (co-extrusion)，當兩流體黏度差異越大時，漩渦的大小也隨之增加。