牛頓、剪切致稀、冪律流體之毛細管流動（Capillary Flow of Newtonian, Shear Thinning, or Power-Law Melts）

壓力效應對黏度之定量分析 (Quantification of The Effect of Pressure on Viscosity)

毛細管總壓力降對 L/D 的作圖，又稱為 Bagley plot，一般常用來決定毛細管流變儀中流體自料管 (barrel) 流入毛細管前端的入口壓降 (entrance pressure drop)，進而得到毛細管段的壓降值，精準決定剪切黏度 (shear viscosity)。

事實上，Bagley plot 的數據更可以進一步用於估算壓力係數 β (pressure coefficient)，這是因為在高流率下，毛細管中的流體是處於遠高於一大氣壓的狀態，因此黏度會額外受到高壓效應而增加 (high-pressure effect)，常見的壓力為 5–100 MPa (等同於 50–1,000 bar 或 49.4–987 atm)。

若假設流體的黏度遵守冪次律模型 (Power-law model)，且根據 Barus 方程式，黏度表示式為

η = m₀e^βPγ ̇ ^n-1

根據下方文獻對毛細管流 (Fig. 1) 的推導，可以得到估算壓力係數 β 的公式 (Eq. 9)。若想對 Bagley plot 的數據進行直接的擬合，可使用 Eq. 8，即

Table 1 是橡膠複合物 (rubber compound) 的例子，β 的數值大約在 5×10^-8 Pa^-1。

[註：此分析忽略壓力造成剪切致稀開始發生的臨界剪切速率變小之效應]

Reference: J-Z Liang, "Pressure effect of viscosity for polymer fluids in die flow," Polymer 42, 3709 (2001).

發泡成型將有更多選項 (Expanding Options in Foam Moulding)

FOAM | TECHNOLOGY

發泡射出成型 (foam injection moulding) 是汽車、包裝和技術模具製造商可以用來在其客戶產品中提供巨大價值的技術。發泡的模塑件比未發泡的零件具有更低的密度，因此在汽車和包裝市場的輕量化趨勢中具有吸引力。發泡既可用於薄壁塑件 (thin wall parts)，也可用於厚壁塑件 (thick wall parts)，除了減輕零件的重量外，還有其他好處，例如更低的材料成本和加工優勢，包括縮短的循環時間 (reduced cycle time) 和減小機器夾緊力的可能性 (clamping force)。

Trexel 的 MuCell 工藝也許是最著名的發泡射出成型技術，但是除此之外，一些射出成型機公司已經發展了自己的發泡選項。另外獨立的團隊也開發了專業知識和新的發泡技術。這些技術中的每一種都有其支持者的聲稱使它們脫穎而出，但是本質上，這些技術之間的差異在於使用化學發泡 (chemical foaming) 或使用物理發泡 (physical foaming)。在化學發泡中，將用於發泡膨脹的試劑添加到高分子顆粒中 (polymer granules)，一但在機筒 (machine barrel) 內部開始加工，便將其活化。在物理發泡中，將氣體從外部單元引入機筒，然後與高分子熔體混合以產生發泡膨脹。

根據工業氣體生產商 Linde 的說法，一種新的發泡射出成型技術結合了物理和化學發泡的優點。 Linde 及其開發合作夥伴 Kunststoff-Institut Lüdenscheid (KIMW) 和 ProTec Polymer Processing (2018 年) 推出了 Plastinum 發泡成型工藝。ProTec 使用其 Somos Perfoamer 系統和 Engel E-Victory 310/80 射出成型機展示了該過程。在此過程中，首先將高分子顆粒在空氣調節器中乾燥 (conditioner unit)，然後將其置於射出成型機的上游壓力槽 (pressure vessel or autoclave)，浸漬二氧化碳發泡劑。顆粒吸收的量取決於塑料材料、壓力、溫度和浸漬時間。當壓力被釋放且被充填後，二氧化碳通常可以保留在顆粒中超過兩個小時。

使用 Linde、KIMW、ProTec 共同開發的 Plastinum 發泡成型工藝所生產的開瓶器。

塑料應用專家 Pavel Szych 說：「Plastinum 和化學發泡一樣具彈性，因為它可以與任何工具一起使用而無需加以修改，並且與物理發泡一樣精確且具有再現性」。Linde 的產品系列除了 Plastinum 外，還有氣體射出成型 (gas injection moulding)、模具熱點冷卻 (mould hotspot cooling) 和乾冰噴射清理模具 (dry ice blasting to clean moulds)。Plastinum 發泡射出成型的發展計畫自 2015 年從零開始進行，工藝開發與 KIMW 共同進行，而 ProTec 建置 Plastinum 工藝的硬體。Perfoamer 設備由具控制單元的空氣調節器和具緩衝槽的加壓處理器所組成 (autoclave with buffer bank)。空氣調節器是必要的，因為它能使氣體浸漬不至於在過高的溫度發生，避免影響吸收的程度。Plastinum 工藝使用二氧化碳，因為它是一種能容易取得的氣體，且在測試期間，它與氮氣和其他氣體相比具最好的吸收。

ProTec 的 Somos Perfoamer 單元可乾燥及調整高分子顆粒的溫度，先經二氣化碳的高壓處理，然
後導入射出成型機中。 

Corretto 是一種可重覆使用的隨身咖啡杯 (on-the-go coffee cup)，採用 Bockatech's 的 EcoCore 技術以發泡射出成型於 PP。

在德國的 Neue Materialien Bayreuth，提供射出成型業者各種發泡相關的服務。

Arburg 的 Profoam 工藝可用於汽車零件，例如相片中的輕量化物件。

Reference: March 2019 | INJECTION WORLD (www.injectionworld.com)

強化材料時代來臨 (The Reinforcements Have Arrived)

Materials | composites

熱塑性塑料增強纖維 (reinforcing fibres for thermoplastics) 的發展側重於成本降低、性能和加工，汽車 (automotive)、電子與電機 (electrical and electronics (E&E)) 市場處於領先地位。新的和改進的產品包括短玻璃纖維 (chopped glass fibres) 和長玻璃纖維 (long glass fibres)，再到新型的芳香族聚醯胺 (aramids) 和更具成本競爭力的碳纖維產品 (carbon products)。

[註: aramid = aromatic polyamide；polyamide (PA) 的中文為聚醯 (ㄒㄧ) 胺，是由含有羧 (厶ㄨㄛ) 基和氨基的單體通過醯胺鍵聚合成的高分子]

PA6 和 PA6,6 仍然是搭配增加玻璃纖維的高分子，特別是在汽車領域，但一些重要的轉變正在改變增強纖維熱塑性塑料的競技場。其中包括汽車工業中，增強聚丙烯 (reinforced PP) 的持續增長，以及其他纖維增強樹脂 (fibre-reinforced resins) ，如 PC、PBT、PET、PEEK、PPO 和 LCP 在電子和電機領域的強勁增長。家用電器，醫療設備以及其它與運輸相關的應用也代表著重要的潛在市場，以及剛萌芽的生物塑料領域 (bioplastics)。

 3B Fibreglass 熱塑性塑料業務發展經理埃里克·馬丁 (Eric Martin) 表示：「纖維 (fibre) 或填料 (filler) 增強材料最近的全面進展，包括玻璃 (glass)、碳 (carbon)、聚芳醯胺 (aramid)、天然纖維 (natural fibres)，旨在提高熱塑性化合物的性能和加工性能，同時提高成本競爭力」。

馬丁說 OEMs (原廠代工製造者) 與碳纖維供應商之間的聯盟，對整個複合材料行業都很重要，並將促使增強熱塑性塑料成為鋼 (steel) 和鋁 (aluminium) 等傳統材料的輕質替代品 (lightweight alternatives)。同時，他認為玻璃纖維在大量生產和成本優勢方面將在新興應用中發揮重要作用。

汽車、電機與電子行業是邁向增強熱塑性塑料轉變的領導者，包括提高耐用性 (greater durability)、耐熱性 (heat resistance) 並減少系統成本。不論哪個領域，更嚴格的熱穩定性 (thermal stability) 要求經常被認為是增強熱塑性塑料需求和創新的關鍵驅動力。此外，可回收性 (recyclability) 和報廢管理 (end-of-life management) 也變得越來越重要。

3B Fibreglass 公司的新材料 DS2200-10P 10μm 增強了 PP 的機械性質 (紅線)。宣稱其專利的大小分級 (proprietary sizing) 和結合技術 (binding technology) 提供優異的 dry-as-moulded (DAM) 性能，以及水解 (hydrolysis) 或熱老化 (heat aging) 後仍能夠持持高比例的性質保留 (property retention)。

3B Fibreglass 公司的新材料 DS1120-13P 可強化 polyamide，鎖定的應用包括牆上插頭 (wall plugs) 和自行車踏板 (bicycle pedals)。

Sabic Innovative Plastics 公司的碳纖維填料 Ultem PEI 樹脂 (熱塑性聚醚醯亞胺) 正被試驗成為取代飛機桌臂的鋁。

相較於 1 micron talc，Milliken 公司的新產品 HPR-803i 增強劑提供了增加的性質 (綠線)。測試進行於 35MFR interior-grade medium-impact PP 共聚高分子，上圖為撓曲模數 (flexural modulus)，下圖為熱變形溫度 (heat deflection temperature)。

Reference: January/February 2012 | INJECTION WORLD (www.injectionworld.com)

高分子之材料性質: Part 2 (Material Properties of Polymers: Part 2)

7. 熱性質

(Thermal Properties)

射出成型過程中的熱傳遞需要注意以下三種現象：

■ 進入的熔體所引起的對流 (convection)

■ 從熔體中傳導出來 (conduction)，通過模具 (mold) 並進入冷卻通道 (cooling channels)

■ 熔體流入模腔時由於其變形而產生的剪切加熱 (shear heating)

透過對流進入模具，關鍵特性是熔體的比熱 (specific heat)，這是一定量熔體的熱含量之量度。熔體向冷卻線的傳導需要熔體以及模具的傳導性 (conductivity)。材料的剪切加熱是熔體黏度和形變率的函數。

7.1. 比熱容 (Specific Heat Capacity)

材料的比熱容是衡量提高材料溫度所需能量的量度，反之則是多少能量包含在給定溫度下的材料中。對於進入模具的對流，控制熱量進入模具的關鍵特性是比熱容。為了定義這一點，假設我們有一些材料，並在其中加上一些熱量 Q，以使溫度升高 ΔT。物體的平均熱容 C_bar (mean heat capacity) 定義為熱量變化與溫度變化之比

(14)

然後將特定溫度下的物體熱容 C (heat capacity) 定義為上式在溫度差趨於零的極限

(15)

比熱容 (specific heat capacity) 定義為單位質量材料的熱容。比熱的單位是焦耳每公匠每度 K(J/ kg.K)。可以在恆定體積或壓力的條件下測量比熱容量，並分別表示為 c_v 和 c_p。

在恆定體積量測時對樣品進行加熱，由於樣品對盛裝容器施加的應力很大，故軙常使用 c_p。

比熱被用來計算在填充、保壓和冷卻過程中，從熔體流向模具冷卻系統的熱量損失。當熔體流過流道系統 (runner system) 和腔體時，它還被用於計算由黏滯耗散所產生的熱量。當材料固化時，可能會產生額外的熱量 (潛熱)，特別是對於半結晶材料。模擬程式經常忽略這一點，因為它需要明確計算出結晶度。

通常，高分子的比熱比金屬的比熱高得多。Table 3.1 列出了一些常用於射出成型的高分子和鋼的比熱值。儘管金屬的比熱低於高分子的比熱，我們知道要從模具中移除的熱量卻是由比熱和密度的乘積決定 ρc_p，不過鋼的密度比高分子高約一個數量級。

7.2. 導熱係數 (Thermal Conductivity)

導熱係數是對材料進行加熱的導熱程度之量度。具有高導熱率的材料可用於自熱源吸收熱量。具有低導熱率的材料是絕緣體。成型模擬時，需要知道模具和高分子的導熱性。

想像一塊厚度為 ∆x 的材料平板，其一側溫度為 T，另一側溫度較高為 T + ∆T，如 Fig. 3.3 所示。令 ΔQ 為熱在時間 Δt 中穿過面積 A 的橫截面的流量。這樣，整個橫截面上的平均熱流為 Q/Δt。通過實驗已確定，平均熱流速率與面積和溫度差成正比，與平板的厚度成反比

(16)

引入一個正值的比例常數 k，得到

(17)

其極限 Δx → 0 和 ∆t → 0，我們得到

(18)

Equation 18 定義了材料的導熱係數，用 k 表示。導熱係數的單位是焦耳每公尺每秒每度 K (J/m.s.K) 或瓦特每公尺每度 K (W/m.K)。

作為複雜材料，高分子的熱導率會隨溫度，結晶度和分子排向而變化。高分子的熱導率通常較低，而金屬的導電性更高且熱導率較高，Table 3.2 中給出了一些範例。隨著傳導率的降低，實驗誤差成為了問題。由於其較低的值，導熱率是聚合物難以測量的特性。與模擬相關的熱傳導最重要的方面是傅立葉定律 (Fourier's law)，該定律可以從 Eq. 18 推導，經除以 A，然後將導數廣義化後可得

(19)

其中，q 是局部的熱通量向量 (heat flux vector)。大部分的模擬軟體假設 k 是純量。

8. 熱力學關係

(Thermodynamic Relationships)

成型模擬需要幾個熱力學性質，這些是從材料的狀態方程獲得的 (equation of state)，被稱為 PVT 數據。

狀態方程將這三個變量壓力 p、比容 Vˆ 和溫度 T 相關聯。對於任何材料，我們都可以將狀態方程寫成以下形式

(20)

8.1. 膨脹率和可壓縮性 (Expansivity and Compressibility) 

考慮到任意兩個變量，第三個變量可以從狀態方程中獲得。特別地，我們可以寫出

(21)

其中，g 是某個函數。繪製函數 g，我們得到如 Fig. 3.4 所示的 PVT 表面。想像一下，溫度為 T_a 時，材料在壓力保持恆定的情況下經歷了溫度變化。隨後的體積變化是什麼？這可以通過 Fig. 3.4 來回答，圖中顯示為從點 a 到 b 的變化。從 T_a 到 T_a + ∆T 的溫度變化導致體積變化等於g(p_a, T_a + ∆T) - g(p_a, T_a)。因此，體積隨溫度變化的平均變化為

(22) 

在 ΔT → 0的極限下，我們得到材料的瞬時體積變化，表示為

(23)

其中，下標指出壓力是恆定的。

材料的體積膨脹係數 β 定義為 (coefficient of volume expansion)

(24)

單位為 K 的倒數 (1/K)，體積膨脹係數也稱為材料的膨脹率。

[註: p_a = p_b]

現在考慮保持溫度恆定時，壓力變化引起的體積變化，這可由 Fig. 3.4 的點 b 移動到 c 來示意。由壓力變化引起的平均體積變化量可由下式表示

(25)

再一次讓 ∆p → 0，我們獲得材料的瞬時體積變化，表示成

(26)

等溫壓縮係數 κ 定義為 (isothermal compressibility coefficient)

(27)

其中負號表示體積隨壓力增加而變小。等溫壓縮係數的單位是平方米每牛頓 (m²/N).

9. 壓力-體積-溫度數據

(Pressure-Volume-Temperature (PVT) Data)

對於熱塑性高分子，狀態方程的類型為 Vˆ = Vˆ(p, T)，通常以 PVT 圖的形式提供，該圖給出比體積 (specific volume) 是 p 和 T 的函數。一個常用的方程是泰特方程 (Tait equation)

(28)

其中，C = 0.0894 是一個常數，並且被認為是通用的。V₀ˆ(T) 是

(29)

其中，上標 (s) 和下標 (m) 分別代表高分子的固態和熔融態通常。B(T) 是

(30)

對於無定形高分子 V_tˆ(p, T) = 0，而對於半結晶高分子

(31)

其中，轉變溫度 T_trans 被假定為壓力的線性函數，即

(32)

給定 PVT數據 Vˆ =Vˆ(p, T) ，可透過微分得到上面討論的膨脹係數和壓縮係數。由於密度是單位體積的倒數，因此 PVT 圖還提供了任何壓力和溫度下的密度值。

10. 纖維排向

(Fiber Orientation)

纖維排向分析試圖確定混入高分子中的纖維排向。 最簡單的模型需要高分子中的纖維量，以重量分率或體積分率表之，纖維的長寬比 (aspect ratio) 也可能是必需的。纖維重量分率 W_f 定義為

(33)

其中，W_f 是纖維的重量，W_c 是複合材料的重量，ρ_f 是纖維的密度，ρ_c 是複合材料的密度，v_f 是纖維的體積，v_c 是複合材料的體積。通常對於工業材料，重量分率以百分比表示。纖維體積分率 φ 定義為

(34)

長寬比 a_R 定義為纖維長度除以它的直徑。

11. 收縮和翹曲

(Shrinkage and Warpage)

對於收縮和翹曲，我們需要

■ 方向 1 和 2 上的線性膨脹係數 (linear coefficients of expansion)

■ 方向 1 和 2 上的彈性模量 (elastic moduli)

■ 泊松比 (Poisson's ratios)

■ 剪切模量 (shear modulus)

這些性質在固體力學 (solid mechanics) 教科書中都有提及。我們簡要討論它們以求完整性，更進一步是考慮加工效應並對這些性質進行建模。

我們已經討論了體積膨脹係數 (Eq. 24)，該公式告訴我們體積隨溫度的變化如何變化。這對於非常簡單的收縮和翹曲分析可能就足夠了。在這種情況下，線性膨脹係數大約是體積膨脹係數的1/3。但是，一般而言，模製零件表現出非等向性效應 (anisotropic effects)，這意味著線性膨脹係數在三個正交方向上不同。由於射出成型零件通常是薄壁的 (thin-walled)，因此，如果定義坐標的三個軸是位於厚度方向，則所需的線性膨脹係數應為 1 和 2 方向的線性膨脹係數。在方向 i 上的線性膨脹係數定義為

(35)

也可以對彈性模量做出類似的關係式。Equation 27 提供了材料承受均勻負荷下的體積變化。但是射出模製的材料之模量也表現出非等向性。採用與上述相似的坐標系統，我們可以討論模量在三個方向上。根據分析的類型，E₁和 E₁ 的值可能就足夠了。彈性模量，通常稱為楊氏模量 (Young's modulus) 或拉伸模量 (tensile modulus)，是由在感興趣方向上的應力 (stress) 與應變 (strain) 之比值所定義

(36)

當拉伸材料樣品時，泊松比與觀​​察到的效果有關，透過在給定方向上施加拉力 (tensile force)，樣品寬度在垂直於拉力的方向上會收縮 (contraction)。相反，如果壓縮材料樣品 (compress)，則垂直於壓縮力的方向上的寬度會增加。

剪切模量或剛度模量 G 是衡量材料在剪切中的行為的量度，它被定義為剪切應力與剪切應變之比值。假設上面的三個正交方向，我們得到

(37)

Reference: PK Kennedy, R Zheng, Flow Analysis of Injection Molds, 2nd ed (Hanser 2013).

高分子之材料性質: Part 1 (Material Properties of Polymers: Part 1)

高分子的物理性質在很大程度上取決於其分子結構 (molecular structure)。 要模擬射出成型 (injection molding)，我們需要測量材料性質以供模擬使用；但是，量測過程本身會影響所得到的材料性質。加工與性質之間的關係仍然屬研究領域。 確實，這種缺乏對材料的了解是當前模擬軟體的主要不足。 

在本章中，我們確認了基本的高分子類型並討論了它們的特性。 我們的目的是定義模擬所需的性質。我們還指出了材料性質測量中的一些困難，這些困難會導致模擬錯誤。我們此處將討論由於忽略材料本身的加工效果而在模擬中引入的誤差。 

1. 高分子的種類

(Types of Polymers)

不同分子結構產生兩種基本類型的高分子材料：熱固性塑料 (thermosets) 和熱塑性塑料 (thermoplastics)。

熱固性材料在加熱時變為流體，但隨著溫度的升高，一種稱為交聯的反應 (cross-linking) 會導致分子在沿主鏈的支鏈基團上鍵結。該過程導致剛性三維晶格 (rigid three-dimensional lattice)。一旦發生交聯，該材料將不會在加熱後重新熔化。

熱塑性材料中的分子不會發生交聯。這些材料可以通過加熱使其成為流體，然後在冷卻時固化。此外，與熱固性塑料不同的是，加熱和冷卻後流體流動和固化的循環可以無限制地重複，但前提是材料不會因施加的熱量而發生任何永久性的化學變化。

由於熱固性塑料和熱塑性塑料在加熱時均會軟化，因此兩者均可用於射出成型。但是，在加工之間存在重要差異。對於熱固性塑料，模具 (mold) 的溫度高於注入材料的溫度，而對於熱塑性塑料，模具的溫度比注入材料的溫度低。

高分子可進一步分類成無定形 (amorphous) 和半結晶 (semi-crystalline) 材料，這些高分子類型具有非常不同的特性。精確的模擬必須考慮到這一點。不幸的是，這說起來容易做起來難。

2. 無定形聚合物

(Amorphous Polymers)

對於高分子，沿著主分子鏈的原子之間的鍵是可撓的，因為鏈的鏈段可以圍繞鍵旋轉。在熔融狀態下，分子具有增加的遷移率 (mobility) 並傾向於採用糾纏 (entangled)、無序的構型。如果溫度降低，並且在沒有外力的情況下，分子構型仍然糾纏在一起，則該材料被稱為非晶態的。

隨著處於熔融狀態的非晶態高分子被冷卻，它會變成橡膠狀 (rubbery)。進一步的冷卻將導致該材料從橡膠態變為硬玻璃狀材料 (glass-like)。發生這種轉變的溫度稱為玻璃化轉變溫度 T_g。過渡溫度的存在可能意味著性質的突然變化，但是非晶高分子的特性會隨著溫度的變化而逐漸變化。在沒有外部力的情況下，當熔體冷卻時，分子纏結 (molecular entanglement) 會保留在無定形高分子中，但是，在射出成型中，最終性質取決於分子的排向 (orientation)，這取決於加工歷史 (processing history)，冷卻速率 (rate of cooling)，以及高分子的鬆弛特性 (relaxation)。有時將射出零件的分子排向稱為「凍結」排向 (frozen in)。

Engels (2008) 研究了射出非晶態材料的機械性質，他使用考慮了加工歷史的屈服應力模型 (yield stress)，發現加工歷史確定了模製材料的屈服應力。 Govaerts 等人 (2005) 將機械模型連結到成型模擬程式，以根據材料的溫度、時間歷史來預測屈服應力。這些主要成就在於確定加工後最終性質。不幸的是，目前對於半結晶材料的掌握度仍不足。

3. 半結晶聚合物

(Semi-Crystalline Polymers)

儘管對於無定形高分子，隨著熔體的冷卻，分子的排向得以保留，但分子可能以規則的晶格形狀排列。這種材料被稱為可結晶的 (crystallizable)。這些處於冷卻的固態的材料可以同時具有非晶區和結晶區，並且被稱為半結晶。應該注意的是，此處的晶格結構不是由於熱固性交聯的情況下的化學鍵結而引起的。的確，只要材料沒有化學變化，就可以通過反復的加熱和冷卻循環來去除和恢復晶體區域。

在沒有外力的情況下，當從熔體冷卻到固態時，半晶體材料會形成隨機排向的非晶和結晶區域。每個相的性質都不同。因此，這些材料實際上是複合材料，它們的性質取決於材料中結晶相和非晶相的數量和排向。

結晶含量的高低受冷卻速率的影響，通常，緩慢的冷卻導致較高的結晶度。較高的冷卻速率 (例如在射出成型中靠近模具壁的冷卻速率) 往往會降低結晶度。

在過去的二十年中，已經進行了許多有關流動對結晶作用的研。就目前而言，已知道流動會促進結晶，這在射出成型中很重要。如我們將看到的，成型過程本身會影響材料的結晶，進而影響材料的性質。這就造成了成型模擬的問題。為了進行模擬，我們需要材料性質；但是，這些特性通常是在與加工過程不同的條件下測量的。由於加工會影響性質，因此在使用簡單測量的性質時會存在一個固有的錯誤 (intrinsic error)。解決方案是擁有可以模擬加工以及材料特性變化的模型，這是模擬科學的未來。在撰寫本文時，似乎沒有模擬軟體可以做到這一點。

4. 模擬所需材料性質

(Overview of Material Properties for Simulation)

射出成型是一個複雜的過程，我們需要處理可壓縮 (compressible) 的非牛頓 (non-Newtonian) 流體的流動、溫度變化和相變。為了進行模擬，我們需要了解材料的一些特性。這些材料特性在加工過程中會發生變化。因此，決定材料特性並非易事。用於測量特性的實驗室測試通常是在與成型過程中遇到的條件非常不同的條件下進行的。在模擬中使用這些數據會導致固有錯誤。在此，我們定義了模擬加工過程所需的材料性質，討論了在這些假設帶來的限制，並指出了可以改進的領域。

模擬射出成型所需的材料特性取決於要進行的模擬。為了進行流動分析 (填充 (filling)、保壓 (packing) 和冷卻 (cooling))，需要的材料性質如下：

■ 黏度 (viscosity)

■ 比熱容 (specific heat capacity)

■ 導熱係數 (thermal conductivity)

■ 無流動或轉變溫度 (no-flow or transition temperature)

■ PVT 數據 (PVT data)

如果模擬軟體的用戶要模擬收縮 (shrinkage) 和翹曲 (warpage)，則還需要其他特性，例如：

■ 彈性模量 (elastic modulus)

■ 剪切模量 (shear modulus)

■ 熱膨脹係數 (coefficient of thermal expansion)

某些模擬軟體可能還需要特定的數據用於軟體公司單獨開發的特定模型。接下來我們討論用於目前模擬軟體的材料特性。

5. 黏度

(Viscosity)

模擬的一個重要性質是材料的黏度。要定義此屬性，請想像一個固定溫度下的流體，該流體被限制在相距距離為 H 的兩個板之間。假設下板是固定的，並且由於施加了力 F_x，上板在 x 方向上以恆定速度 v_x 移動，如 Fig. 3.1 所示。

這樣流動被稱為穩態的 (或簡單的) 剪切流，在射出成型中很重要，流動是通過窄間隙中 (narrow gap) 的流動來近似的。作用在上板的剪切應力 τ_zx 為 (shear stress)

(1)

其中 A 是板的面積。

1687年，艾薩克·牛頓提出，對於這種流動，「阻力是由於液體部分的滑移性不足而引起的，在其他條件相同的情況下，與液體各部分相互分離的速度成正比」，黏度就是這種「缺乏滑移性」。用 η 表示黏度，這意味著

(2)

其中，γ ̇ _zx稱為剪切速率。對於更複雜的流動，有必要依靠張量 (tensor)，所以

(3)

η 為常數的流體稱為牛頓流體 (Newtonian fluids) (其 η 也可能取決於壓力或溫度)，若 η 不為常數的流體是非牛頓流體 (non-Newtonian fluids)。熔融的高分子通常會表現出剪切稀化 (shear thinning)，η 從而隨著材料所受剪切而降低。因此，高分子是非牛頓的。此外，它們是黏彈性的 (viscoelastic)，這意味著它們既具有黏性又具有彈性。特別地，黏彈性材料在受力時表現出隨時間變化的應變 (time dependent strain)。黏彈性對於計算翹曲和成模材料的性能很重要。

6. 黏度模型化

(Modeling Viscosity)

這裡，我們討論與模擬相關的黏度，尤其要注意溫度、剪切速率和壓力對黏度的影響。

由於剪切稀化效應，對 Eq. 3 進行了修改，以使黏度取決於剪切速率

(4)

其中 η(γ ̇ ) 稱為黏度函數 (viscosity function)，γ ̇  是廣義應變率。Equation 4 定義了廣義牛頓流體 (generalized Newtonian fluid)。

6.1. 黏度函數 (The Viscosity Function)

許多黏度函數可用於射出成型模擬。幾個最受歡迎的是：冪次律模型 (power-law model)，Carreau 模型和 Cross 模型。

6.2. 冪次律模型 (The Power Law Model)

冪定律模型是 1920 年代開發的，也稱為 Ostwald-de Waele 模型。它以與剪切速率的冪次成正比的方式設置黏度，並具有這樣的形式

(5)

其中 m 和 n 是常數。當 m = μ 且 n = 1 時，我們得到牛頓流體的關係。高分子熔體表現出剪切稀化行為。即黏度隨著剪切速率的增加而降低。因此，對於高分子熔體，常數 n ≤ 1。對 Eq. 4 兩側取對數，我們得到 

(6)

logη 對 logγ ̇  的圖表說明這種關係是線性的。在高剪切速率下，常數 m 和 n 很容易從實驗中決定，冪次律模型可以表現高剪切速率區域的高分子熔體行為。射出成型通常被認為是高剪切速率的過程。但是，重要的是要考慮所考慮的過程的階段。在填充階段 (filling)，剪切速率通常較高，但是在保壓階段 (packing)，剪切速率可能較低。此外，當填充樣式不平衡時，填充階段的剪切率可能會較低。Figure 3.2 給出了這樣一個例子。

6.3. Carreau 模型 (The Carreau Model)

Carreau 模型是

(7)

其中，η₀ 為零剪切速率黏度，η_∞ 是上限牛頓黏度，λ 是時間常數，n 是冪次律指數。該模型已成功地關聯了實驗黏度數據。當 η_∞ = 0 且處於高剪切速率時，該模型簡化為冪次律模型，其中，m = η₀λ^n-1。

6.4 Cross 模型 (The Cross Model)

Cross 模型的形式為

(8)

其結合了牛頓區域和冪次律剪切稀化區域。當 γ ̇ →0 時，可預測零剪切速率粘度 η₀，而在高剪切速率下，則可預測冪次律行為。在 Eq. 8 中，τ* 是一個與牛頓函數和冪次律行為之間轉變處的剪切應力有關的常數，n 是冪次律指數，是衡量剪切稀化程度的指標。

在比較 Carreau 模型和 Cross 模型時，Hieber 和 Chiang 發現 Cross 模型為剪切速率依賴性提供了更好的擬合。因此，Cross 模型已經被廣泛使用於商業化模擬軟體。

6.5 溫度影響的考量 (Incorporation of Temperature Effects)

上面討論的黏度函數是熔融態在特定溫度下。在射出成型中，溫度從熔融溫度 (melt temperature) 變化到模具壁的溫度 (mold temperature)。因此，為了進行模擬，我們需要一個包含溫度的黏度函數。

高分子是黏彈性材料，取決於溫度和時間。儘管大多數商業模擬軟體沒有明確考慮黏彈性效應，但它們確實採用了黏彈性理論中的溫度效應。基本概念稱為時間-溫度疊加 (time-temperature superposition)。

對於許多高分子，在黏度的對數圖上，溫度 T 的黏度，可以從溫度 T₀ 的黏度沿著對數時間軸移動一個量 loga_T(T)。這個是假設熱流變簡單 (thermo-rheological simplicity)，意味著所有與鬆弛機制有關的分子機制都具有相同的溫度相依性。

時間-溫度平移因子 a_T(T) 已由 WLF (Williams-Landel-Ferry) 方程式擬合

(9)

其中 C₁^g 和 C₂^g 是常數，T_g 是玻璃轉變溫度。儘管是經驗式的性質，但 WLF 方程具有基於 Ferry 描述的自由體積 (free volume) 概念的理論證明。首先，當選擇 T_g 作為參考溫度時，常數 C₁^g 和 C₂^g 被認為對所有高分子是通用的，其值為 C₁^g = 17.44、C₂^g = 51.6 K。在模擬時，通用值僅應在沒有實驗數據的情況下使用。如果可以取得 a_T 的實驗數據，可以使用任意參考溫度 T₀ 代替 T_g，然後將 Eq. 9 改寫為

(10)

WLF 方程式廣泛適用於溫度範圍 T_g < T < T_g +100 (°C 或 K) 的無定形高分子。對於更高的溫度，或與 T_g 無關的地方，Arrhenius 方程式可能更合適。它的形式為

(11)

其中，E_a 為活化能，R_g 為氣體常數。值得注意，在最近的文獻中，Arrhenius 方程式也稱為 Andrade 方程式。

模擬中常用的黏度模型是 Cross-WLF 模型。它的形式為

(12)

其中

(13)

上式的 D₁ 是常數。

6.6. 凝固問題 (Solidification Problem)

當材料處於高溫和熔融狀態時，前一部分討論的溫度效應是有相關的。模擬射出成型和大多數其它成型過程，需要考慮材料在固化時的黏度。不幸的是，這並不容易。黏度通常由毛細管黏度計實驗決定，在這些實驗中，隨著熔體溫度的降低，黏度會增加。但是，熔體的溫度會由於黏性耗散 (viscous dissipation) 而升高，造成黏度降低。因此，儘管儀器可能會顯示特定溫度，但實際熔體溫度可能會因為黏性耗散而較高。

對於非晶形材料，黏度的溫度敏感性取決於玻璃化轉變溫度和加工溫度之間的差異，並且可能對溫度敏感。然而，隨著溫度的下降，半結晶材料的黏度會急劇增加。此黏度驟升行為並未被上述介紹的溫度相依模型所捕捉到。

Reference: PK Kennedy, R Zheng, Flow Analysis of Injection Molds, 2nd ed (Hanser 2013).