不同函數型式之黏度模型參數取得 (Getting Parameter Values in Viscosity Model of Different Form)

有時，同樣的黏度模型 (Viscosity model)，其函數型式可能會有兩種。例如，比較 Eq. 7 和 Eq. 1 (Table 2) 的 Carreau 模型。溫度平移函數 (temperature shifting function) 也有類似的情況，例如，比較 Eq. 17 和 Eq. 2 (Table 2)。乍看之下，它們的函數型式好像不同，然而，經過仔細整理、比對後，往往可以得到另一個函數的參數值。

下方 Eqs. 7 (Carreau)、17 (Arrhenius equation) 及 Table 1 (參數) 是一個取自文獻的實例，透過轉換，可以得到另一種函數型式 Carreau 模型的參數值 (Table 2 的 Taus、B、Tb)，不同溫度下的黏度曲線如 Fig. 1 所示。 

[Mitsoulis et al. (2017)]

 

TABLE 2. Carreau 模型 (上式；Eq. 1) 和溫度平移函數 (下式；Eq. 2)

以 80℃ 為例，

FIG. 1. 根據 Table 2 參數，可以得到不同溫度下的黏度曲線

線性黏彈性質與測黏函數的關係: Cox-Merz 法則 (Relation between Linear Viscoelastic Property and Viscometric Function)

對於纏結性高分子溶液或熔體，剪切黏度曲線亦可透過 Cox-Merz 法則取得。根據此經驗法則，剪切黏度 η (shear viscosity) 應等於複數黏度 |η*| (complex viscosity)

(1)

其中，ω 的單位使用 rad/s，而不是 1/s (Hz)。即，在 ω = 10 rad/s 測得的複數黏度，等於 γ̇  = 10 1/s 測得的剪切黏度，即

|η*(ω=10 rad/s)| = η(γ̇ =10 1/s)     (2)

[註：ω = 2πf。當 ω = 10 rad/s，則 f = 1.59 Hz]

因此，Cox-Merz 法則常被用來檢驗旋轉模式下測得的穩態剪切黏度，也是一種快速取得黏度曲線的方法。

Reference: RB Bird, RC Armstrong, O Hassager, Dynamics of Polymeric Liquids, Vol. 1, Fluid Mechanics, 2nd ed (Wiley-Interscience 1987).

黏度數據擬合之基本要點 (Problems Encountered in Fitting Viscosity Data)

Revised: 2022/3/10

Cross-WLF 黏度模型

使用黏度模型 (viscosity model) 擬合剪切黏度數據時 (shear viscosity)，需注意以下幾點，方能得到可靠的黏度曲線，也就是黏度的剪切率及溫度的相依性：

(1) 需同時有高剪切率和低剪切率的數據，前者來自毛細管流變儀 (capillary rheometer; 10¹ < γ̇  (1/s) < 10⁴)，後者來自旋轉流變儀 (rotational rheometer; 10^-3 < γ̇  (1/s) < 10²)。

(2) 需有不同溫度下的黏度數據 (至少三個溫度)，量測溫度範圍需相差至少 20–40 ℃ (例如：180、200、220 ℃)。

從下方範例可知，當黏度數據不齊全時 (例如，只有 200 ℃ 的高剪切率黏度)，雖然兩種擬合結果得到相同的誤差總和 (error sum = 1.4837E-04)，但是，兩組參數的 D₁、A₁ 值卻大為不同，若外插至低溫時 (例如，90℃)，兩組參數將得到非常不同的低溫黏度曲線。

第一種擬合結果

第二種擬合結果

牛頓流體之剪切黏度和拉伸黏度 (Shear Viscosity and Elongational Viscosity of Newtonian Fluids)

對於不可壓縮牛頓流體 (incompressible Newtonian fluids)，應力張量 τ 為 (stress tensor)

(1)

其中，μ 為剪切黏度，γ̇  為應變率張量 (rate-of-strain tensor) 或形變率張量 (rate-of-deformation tensor)。在穩態簡單剪切流場 (steady simple shear flow)

(2)

所以

(3)

應變率張量 γ̇  的大小為

(4)

另一方面，在穩態拉伸流場中(steady elongational flow)，拉伸黏度定義為 (elongational viscosity)

(5)

應變率張量 γ̇ 為

(6)

其中，ε^. 為拉伸率 (elongational rate)，ε^. 為正值時對應單軸拉伸 (uniaxial stretching)，負值對應雙軸拉伸 (biaxial stretching)。對於牛頓流體，由 Eq. 1 可得

(7)

因此

(8)

故拉伸黏度為剪切黏度的 3 倍。應變率張量 γ̇  的大小為

(9)

[註：高分子熔體在單軸拉伸流場的拉伸黏度如 Fig. 8.2-6a 所示，LDPE 具拉伸硬化的特性，故在高拉伸率區間，拉伸黏度遠大於 3 倍的剪切黏度]

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).

牛頓流體之耗散函數 (Dissipation Function for Newtonian Fluids)

Revised: 2022/1/20

在所有流動系統，(- τ:▽v) 這個量描述機械能 (mechanical energy) 降解成熱能 (thermal energy)，有時被稱為黏性耗散生熱 (viscous dissipation heating)。此生熱可以造成高黏度、高速度梯度系統可觀的溫度上升。在直角座標中，(τ:▽v) 可表示成 

(C, Table A.7-1)

將下方 Eqs. B.1-1 至 B.1-6 (generalization of Newton's law of viscosity) 代入 Eq. C，同時使用 Eq. A，且令 (- τ:▽v) = μΦ_v + κΨ_v (μ 是黏度，κ 是膨脹黏度 (dilatational viscosity))

(A, Table A.7-1)

[註：牛頓流體的本質方程式如下方 Eq. 1.2-7 所示]

(1.2-7)

可得 dissipation function Φ_v

以及 Ψv

Ψ_v = (∂v_x/∂x + ∂v_y/∂y + ∂v_z/∂z)²     (1)

此外，對於牛頓流體，(- τ:▽v) 這個項恆為正，因為它可以寫成平方項的和

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).