§9.8 與分子運動相關之功 (Work Associated with Molecular Motions)

目前我們將關心應用能量守恆定律至殼 (shells) (如同第十章的殼平衡 (shell balances)) 或者至空間中固定的小體積單元 (§11.1 發展的能量改變方程式)。開放的流動系統 (open flow system) 之能量守恆定律是古典熱力學第一定律之推廣 (靜止的封閉系統)。於後者，我們敘述內能的改變等於增加至系統的熱加上作用於系統的功，對於流動系統我們必需考慮增加至系統的熱 (透過分子運動和整體流體運動)，以及透過分子運動作用至系統的功。因此，我們很適合在此發展透過分子運動所作之功率 (rate of work)的表示式。

首先，我們回顧，當力 F 作用於一個物體並造成距離 dr 的移動，所作的功為 dW = (F∙dr)，作功功率為 (F∙dr/dt) = F∙v，即力與速度的內積 (dot product)。我們現在應用此公式至於空間中點 P 的三個相互垂直平面，如 Fig. 9.8-1。

我們先考慮垂直 x 軸的表面元素，在表面負的那一側的流體施加一個力 π_xdS 於正的那一側的流體 (見 Table 1.2-1)，因為流體以速度 v 移動，負的流體作用於正的流體的功率為 (π_x∙v)dS。類似的作功表示式也可以為其它兩個表面元素寫下，當以分量型式表示，這些每單位面積的功率變成 

(9.8-1, 2, 3)

當這些純量分量乘上單位向量並相加，我們可以得到每單位面積的作功率向量 (rate of doing work vector per unit area)，簡稱功通量 (work flux)

(9.8-4)

此外，通過具單位法向量 n 的單位表面面積之作功率為 (n∙(π∙v))。

只要將 x, y, z 置換成 r, θ, z 或者 r, θ, 𝜙，Equations 9.8-1 至 9.8-4 可分別改寫成圓柱座標或者球座標。

我們現在定義 (之後使用) 合併的能量通量向量 e (combined energy flux vector) 如下

(9.8-5)

這個 e 向量是以下的總和，(a) 對流能量通量 (convective energy flux)；(b) 透過分子機制之作功率 (每單位面積)；(c) 透過分子機制輸送熱之功率 (每單位面積)。所有在 Eq. 9.8-5 的項具有相同的符號規則，因此 e_x 是在正 x 方向每單位面積每單位時間的能量輸送 (energy transport in the positive x direction per unit area per unit time)。

總分子應力張量 π (total molecular stress tensor) 可拆成兩個部分: π = pδ + τ，因此，π∙v = pv + τ∙v。然後 pv 這個項可以和內能項 ρU^{^}v 結合得到焓 (enthalpy) ρU^{^}v + pv = ρ(U^{^} + (p/ρ))v = ρ(U^{^} + pV^{^})v = ρH^{^}v，故

(9.8-6)

我們將這個型式的 e 向量。對方向 n 的表面元素 dS，n∙e 這個量是對流能量通量 (convective energy flux)、熱通量 (heat flux)、通過表面元素 dS 自負的那一側往正的那一側的功通量 (work flux)。

在 Table 9.8-1 我們整理黏本節介紹之黏滯能量通量向量的符號，它們均具有相同的符號規定。

為了估量 Eq. 9.8-6 的焓，我們利用標準平衡熱力學公式

(9.8-7)

當上式自參考狀態 p^o、T^o 積分至狀態 p、T，我們可以得到

(9.8-8)

其中，是在參考狀態每單位質量的焓 H^{^o}。對於理想氣體，p 的積分 (integral over p) 是零；對於固定密度的流體，是 (1/ρ)(p - p^o)。如果在相關的溫度區間熱容量可視為常數，T 的積分是 ?C_p^{^}(T - T^o)。我們假設 Eq. 9.8-7 在非平衡系統是有效的，而 p 和 T 是局部的壓力和溫度值 (local values)。

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).