§ 10.1 殼能量平衡和邊界條件 (Shell Energy Balance; Boundary Conditions)

在第 2 章，我們了解如何使用二步驟 (two-step procedure) 解某些簡單黏滯流動問題 (viscous flow problems): (i) 我們對垂直於動量輸送方向的薄平板 (thin slab) 或殼 (shell) 進行動量平衡，並自一階微分方程式得到動量通量分佈 (momentum flux distribution)；(ii) 接著將牛頓黏度定律代入動量通量的表示式，並自一階微分方程式得到流體速度隨位置的函數。積分常數則透過邊界條件決定，例如在邊界表面 (bounding surfaces) 的速度或動量通量決定。

在本章，我們將介紹如何使用類似的步驟解一些熱傳導問題 (heat conduction problems): (i) 我們對垂直於熱流動 (heat flow)方向的薄平板 (thin slab) 或殼 (shell) 進行能量平衡，並自一階微分方程式得到熱通量分佈 (heat flux distribution)；(ii) 接著將傅立葉熱傳導定律代入熱通量的表示式，並自一階微分方程式得到溫度隨位置的函數。積分常數則透過邊界條件決定，例如在邊界表面 (bounding surfaces) 的溫度或熱通量決定。

從前面兩段落所使用相似的用語可清楚知道，本章所使用的數學方法和第 2 章所介紹的相同，唯獨表示法 (notation) 和專有名詞 (terminology) 相異；不過，我們將在本章遇到幾個物理現象，它們是第 2 章無對應體的 (no counterpart)。

在 §10.1 簡短介紹殼能量平衡後，我們提供一系列不是非常複雜系統之熱傳導。雖然這些例子有點理想化，這些結果可以在很多標準的工程計算找得到應用。這些問題被選來介紹初學者在熱傳領域一些重要的物理觀念。此外，它們讓我們了解如何使用各種邊界條件，並說明於直角、圓柱、球座標之解題。在 §10.2-10.5，我們考慮四種熱源 (heat sources): 電 (electrical)、核能 (nuclear)、黏滯 (viscous)、化學的 (chemical)。在 §10.6 和 10.7，我們介紹兩個具廣泛應用的主題，即複合壁 (composite walls) 的熱流動和散熱片 (fins) 的熱損失。最後，於 §10.8 和 10.9，我們分析移動流體熱傳遞的兩個極限例子: 強制對流 (forced convection) 和自由對流 (free convection)。熟悉這些主題將有助於學習第 11 章的一般方程式 (general equations)。

§10.1 殼能量平衡和邊界條件 (Shell Energy Balance; Boundary Conditions)

本章問題的建置是借由殼能量平衡，我們選擇表面垂直熱傳導方向的平板 (或殼)，然後寫下能量守恆的敍述。對於穩態 (steady-state) 系統 (即無時間相依性)，我們可以寫下

能量的對流輸送 (convective transport of energy)、分子輸送 (molecular transport) (熱傳導) 已分別於 §9.7、§9.1 討論，而分子作功項 (molecular work terms) 已於 §9.8 解釋。這三個項可以被相加得到 Eq. 9.8-6 的結合能量通量 e (combined energy flux)。於建置這裡的問題 (以及下一章)，我們將使用 e 向量和焓的表示式 (Eq. 9.8-8)。特別注意於非流動系統 (nonflow systems) (即 v 為零)，e 向量簡化成 q 向量，可用傳立葉定律表之。

在 Eq. 10.1-1 的能量生成項 (heat production term) 包括: (i) 電能損耗 (degradation of electrical energy) 成為熱；(ii) 中子降速 (slowing down of neutrons) 和分裂過程核碎片解離 (nuclear fragments liberated in the fission process) 產生的熱；(iii) 黏滯耗散 (viscous dissipation) 產生的熱；(iv) 化學反應生成的熱，化學反應熱源將在第 19 章進一步討論。Equation 10.1-1 是對於一個在穩態條件開放系統 ("open" system at steady-state conditions) 之熱力學第一定律敍述，在第 11 章，延伸至非穩態系統 (unsteady-state systems) 之相同敍述將被寫成一個變化方程式。

當 Eq. 10.1-1 已被寫成薄平板或材料的殼，我們讓平板或殼的厚度趨近於零，這個步驟最終給予一個包含積分常數之溫度分佈表示式，常數可藉由邊界條件決定之，最常見的邊界條件如下:
(a) 指定表面的溫度；
(b) 給定垂直表面的熱通量 (等同於指定溫度梯度之垂直分量)；
(c) 在界面，溫度和垂直界面的熱通量必需具連續性 (continuity)；
(d) 在一個固液界面 (solid-fluid interface)，垂直的熱通量分量也許可以以固體表面溫度 T₀ 和整體流體溫度 T_b 之差值表示

(10.1-2)

此關係式被稱為牛頓冷卻定律 (Newton's law of cooling)，這不是真的定律，而是 h 的定義方程式，h 稱為熱傳係數 (heat transfer coefficient)。第 14 章提供估算熱傳係數 (heat-transfer coefficients) 的方法。

上述四種邊界條件均在本章碰到，其它邊界條件也是可能的，它們將在需要時介紹。

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).