有限應變量度 (Finite Strain Measure)

Maxwell 模型是一個以經驗方式得到的本質方程式，它是於牛頓本質方程式 (Newtonian constitutive equation) 加入一些形變歷史相依 (dependence of deformation history) 所得到的

(1)

以下介紹如何透過分部積分法，得到 Maxwell 模型具應變張量 (strain tensor) 的表示式。如果 GLVE (generalized linear viscoelastic) 模型搭配鬆弛模數函數 G(t - t') (relaxation-modulus function)，則 GLVE 模型變成 Maxwell 模型。

Maxwell 模型為

(2)

我們現在進行積分，將 Eq. 2 表示成極微應變張量 γ (infinitesimal strain tensor)。為了進行積分，我們使用分部積分法 (integration by parts) 如下 [註]

(3, 4)

如果 G(∞) = 0 以及 γ(t, - ∞) 是有限值 (finite)，第一個項為零，我們最後得到一個 GLVE 流體模型，其包含鬆弛模數的一階導數 M(t - t') (first derivative of the relaxation modulus)，稱為記憶函數 (memory function)，以及極微應變張量 γ(t, t')

(8, 9)

特別值得注意的是，在定義 γ(t, t') 時，我們選擇現在時間 t 為參考狀態，同 DPL [Bird et al. (1987)]；不過有些教科書選擇過去時間 t' 為參考狀態 [Larson (1988); Macosko (1994)]，因此 γ(t, t') 會多一個負號。應變是度量相對的形變，所以兩個狀態必需詳細說明，即參考狀態 (reference state) 和有興趣的狀態 (state of interest)。

我們可以透過 Fig. 1-20，比較 Eqs. 2 和 8 的差異，前者是所有過去時間點的鬆弛模數乘上應變增量 (dτ = - G(t - t') γ̇ (t') dt') 之總合，後者是所有過去時間點的記憶函數乘上累加到現在的應變 (dτ = M(t - t') γ(t, t') dt') 之總合。

[註] 分部積分法的細節如下

(5, 6, 7)

References: 
1. FA Morrison, Understanding Rheology (Oxford University Press 2001).
2. RG Larson, Constitutive Equations for Polymer Melts and Solutions (Butterworths 1988).