平衡方程式 (Balance Equations)

當求解高分子加工的流動和熱傳問題時，我們必須滿足質量 (mass)、力或動量 (forces or momentum)、能量 (energy) 的守恆。若將動量和能量平衡，與透過本質關係 (constitutive relations) 的材料性質相結合，有時會造成高度非線性的統衘方程式 (governing equations)，本文介紹如何結合平衡方程式和本質關係式。

1. 質量平衡或連續方程式 (The Mass Balance or Continuity Equation)

高分子加工模擬的最基本層面就是要滿足質量守衡 (conservation of mass)，我們可以針對空間中一個固定的體積單元進行簡單的質量平衡 (Fig. 4.3)。Table 5.1 列出不同坐標系統下的連續方程式 (continuity equation)。

2. 物質或實質導數 (Material or Substantial Derivative)

可以從固定或移動的觀察點 (a fixed or moving observation point) 描述流動系統 (a flowing system)，固定的觀察者 (如 Fig. 4.4 所示) 會感覺到暫態的影響 (transient effects)，即系統達到穩定狀態之前 (steady state)，變量隨時間之變化。

在非恆溫流動中 (non-isothermal flow)，位置固定的觀察者會感受到

(1)

一但系統達到穩定狀態後，固定的觀察者就會感覺到一個恆定的速度、溫度和其它場變量 (field variables)。

另一方面，對於移動觀察者 (如 Fig. 4.5 所示)，除了感覺到暫態效應，也在物質元素 (material element) 行經一個速度、溫度或濃度梯度時，感覺到變量的變化。

若以一顆流體粒子 (fluid particle) 描述移動的觀察者，其感覺到 u_x 之變化率為

(2)

Equation 2 通常簡寫成 Du_x/Dt 的形式，並稱為物質導數 (material derivative) 或實質導數 (substantial derivative)。

3. 動量平衡或運動方程式 (The Momentum Balance or Equation of Motion)

為了進行動量平衡，我們採用與 Fig. 4.3 相同的流動系統，不過這裡我們並非採用固定的觀察點，而是以物質導數 (material derivative) 描述流體粒子速度分量之變化。如 Fig. 4.6 所示，我們對所有作用於流體粒子表面的力進行力平衡 (粒子為具有尺寸 △x△y△z 的流體元素)，x 方向的力平衡可寫成

(3)

其中，m = ρ△x△y△z。

經過加總所有的力，然後除以元素的體積，最後再讓體積趨近於零，在 x 方向的力平衡為

(4)

[註: 這裡使用機械工程慣例 (mechanical engineering convention)，拉應力為正 (tensile stresses)，壓縮應力為負 (compressive stresses)；在化學工程則使用相反的定義，因為應力場被視為通量。只要保持一致性，我們可以使用任一慣例。]

對於所有三個方向可寫成

(5, 6)

[註: Equation 5 應更正為 ∂σ_ji/∂x_j。]

但是，在流體流動有必要將總應力 σ_ij (total stress) 分解為軸差應力 τ_ij (deviatoric stress) 和流體靜應力 σ_H (hydrostatic stress)。軸差應力造成形變 (Fig. 4.7) 而流體靜應力以壓力來描述 (Fig. 4.8)。

我們可以寫下

(7)

如上式所示，流體靜應力只能作用於表面的法線方向 (normal direction of a surface)，並且在所有三個方向上均相等。因此，我們可以寫下

(8)

其中，p 定義壓力。負的壓力反應了一個事實，即正壓力會造成壓縮應力 (compressive stress)。總應力可以寫成

(9)

使用上面給的總應力定義，動量平衡現在可以被寫成

(10, 11)

[註: Equation 10 應更正為 ∂τ_ji/∂x_j。]

Table 4.3 列出在直角和圓柱坐標系統中，使用軸差應力表示的動量平衡。

這些運動方程式的形式通常稱為柯西動量方程式 (Cauchy momentum equations)。對於廣義牛頓流體 (generalized Newtonian fluids)，我們可以定義軸差應力張量 (deviatoric stress tensor) 是廣義牛頓黏度 η (generalized Newtonian viscosity) 和形變張量變化率的分量 (components of the rate of deformation tensor) 之函數；見 Table 4.4。

在流體力學中，軸差應力張量常以牛頓模型來描述

(12)

[註: 注意，根據機械工程慣例，Equation 12 並沒有負號。]

它可使柯西動量方程式簡化為

(13, 14)

這些方程式通常被稱為 Navier-Stokes 方程式。Table 4.5 是 Navier-Stokes 方程式的完整形式。

除了少數例外，我們可以說流動的高分子熔體並沒有遵守 Eq. 14 中的模型。為了正確地模擬高分子的流動，我們必須考慮形變速率 (rate of deformation)、溫度 (temperature)、時間 (time) 的影響，使得支配系統的偏微分方程式變成非線性。

4. 能量平衡或能量方程式 (The Energy Balance or Equation of Energy)

利用傅立葉定律 (Fourier's law) 進行熱傳導 (heat conduction)

(15)

假設一個均向性材料 (k_x = k_y = k_z = k)，我們可以針對 Fig. 4.9 所示的流動流體元素進行能量平衡，寫下

(16)

上式包括一個任意熱源項 Q_dot 和黏性耗散加熱項 Q_{viscous heating}_dot。

包括在內。

作為說明，我們將導出在一個簡單剪切流動系統，能量平衡方程式中的黏性耗散項，如 Fig. 4.10 所示。

在這裡，可以使用以下公式計算系統內的應力

(17)

若根據 Fig. 4.10 所示的參數，例如，力 F (force)、面積 A (area)、間隙高度 h (gap height) 和平板速度 u₀ (plate speed)，上式可以寫成

(18)

在此系統，能量輸入速率為 (rate of energy input)

(19)

接著將上式除以高分子體積 Ah，則每單位體積的能量輸入速率為

(20)

或

(21)

從上式我們可以推斷，對於牛頓流體，黏性耗散的一般項是 μ(γ̇ :γ̇ )，其中

(22)

對於非牛頓流體，黏性加熱可以寫成 τ:γ̇ 。因此，能量平衡變成

(23, 24)

Table 4.6 是牛頓流體在直角、圓柱坐標系統的能量方程式。

Reference:

1. TA Osswald, N Rudolph, Polymer Rheology: Fundamentals and Applications (Hanser 2015).

2. JP Hernández-Ortiz, TA Osswald, Polymer Processing: Modeling and Simulation (Hanser 2006).