透過孔口模具估算拉伸黏度 (Estimation of Extensional Viscosity from Flow through an Orifice Die)

Revised: 2022/4/1

孔口模具 (orifice die) 為管長趨近於零的毛細管，即 L➝0 (例如，L = 0.2 mm)，如 Fig. A2 右側出口。當熔體自毛細管黏度計的貯槽 (reservoir) 流入一個孔口模具，熔體流線將收縮且加速，產生一個很強的拉伸流 (extensional flow)，如 Fig. A2 所示。為了估算表觀拉伸黏度 (apparent extensional viscosity)，我們可以假設熔體的彈性形變響應 (elastic deformation response) 是有限的，因此，當總形變 (total deformation) 很大時，例如上述的收縮流，流動主要是黏性的 (predominantly viscous)。

Cogswell  [Cogswell (1972)] 推導下方拉伸黏度公式假設以下三點:

(1) 總體形變 (bulk deformations) 夠小而可以被忽略

(2) 在簡單剪切 (simple shear)，剪切應力可由冪次律 (power law) 表示，即 σ_s = kγ ̇ⁿ

(3) 在簡單拉伸 (simple extension)，拉伸黏度不隨拉伸應力而改變

基本的公式如下

(1, 2, 3)

其中，P_O 是流率 Q 所產生的孔口壓力降，對應全展流下毛細管的表觀壁剪切率 γ ̇ (= 4Q/πR³)，η 是在表觀剪切率 γ ̇ 的全展流剪切黏度，n 是剪切應力對剪切率的冪次律指數 (σ_s = kγ ̇ⁿ)。

根據 Eqs. 1-3，為了決定拉伸黏度，除了需知道孔口的壓降值，亦需額外進行一個有限長度毛細管的實驗 (長度 L，半徑 R；例如，L = 30 mm)，取得表觀剪切速率 γ ̇ 下的黏度 η，整理如下。

[註] Cogswell model 的完整假設包括：

以下針對各點稍加補充

第 1 點：且為恆溫流動。

第 3 點：徑向流動速度為零。

第 9 點：在固定一個體積流率 Q (或 γ ̇)，流體在流道中不同位置的拉伸黏度為定值。

第 11 點：剪切時無正向應力。

References:

(1) FN Cogswell, Polymer Melt Rheology: A Guide for Industrial Practice (Woodhead 1981).

(2) FN Cogswell, "Converging flow of polymer melts in extrusion dies," Polym. Eng. Sci. 12, 64 (1972).

(3) FA Morrison, Understanding Rheology (Oxford University Press 2001).