簡單步進剪切形變之應力張量 (Stress Tensor in a Simple Step-Shear Deformation)

於時間 t = T_eq 時，應力張量為 (stress tensor)

(1)

透過 Eq. 1，我們可以計算 t = T_eq 之模數 (其為形變 E 的函數)。在，Eq. 1 涉及鏈滑動機制 (chain-slippage mechanism) 中的兩種效應: (i) 鏈段分佈 (segmental distribution) 沿著原始鏈 (primitive chain) 之平衡過程；(ii) 纏結點 (number of entanglement strands) 的減少。第一個效應與 Eq. 1 中的第一個 <...> 內的 |E∙u| 有關，第二個效應與 <|E∙u|>^-1 有關。對於一個簡單的步進剪切形變 (simple step-shear deformation)，E 為

(2)

應力張量的 xy 分量可由 Eq. 1 得到

(3)

其中，u_x、u_y、u_z 是單位向量 u 在 x、y、z 方向的分量。為了從 Eq. 3 計算不同施加應變 λ 對應的剪切力 T_xy，我們變換至球面座標 (r, θ, 𝜙) (spherical coordinates):

(4)

並對所有的方向 (all orientations) 進行平均的運算 <...>，即

(5)

以下附上推導 Eq. 3 所需的運算過程

(6)

Reference: YH Lin, Polymer Viscoelasticity: Basics, Molecular Theories and Experiments (World Scientific 2003).