§10.8 強制對流 (Forced Convection)

於前面的幾節中，我們主要強調固體的熱傳導問題 (heat conduction in solids)，在本節和接下來的小節，我們將探討兩種流體的熱輸送型式 (heat transport in fluids)，分別為 (i) 強制對流 (forced convection) 和 (ii) 自然對流 (free convection or natural convection)。這兩種對流模式的主要差異可見 Fig. 10.8-1。大部分工業熱傳問題通常屬於兩者中的其一，然而，在有些問題中，這兩種效應都必需被考慮，稱之為混合對流 (mixed convection)。

Figure 10.8-1 非恆溫系統的強制對流與自然對流之比較

本文將探討圓管中 (circular tube) 之強制對流，由於系統夠簡單所以具有解析解。假設黏滯流體的物理性質 (μ, k, ρ, C_p^{^}) 為定值且在半徑 R 的圓管中形成層流 (laminar)。於 z < 0，流體的溫度是均勻的並維持在入口溫度 T₁ (uniform at the inlet temperature)；於 z > 0，有一個固定的徑向熱通量 q_r = -q₀ 於管壁。這樣的系統實際存在於一個被電加熱線圈 (electrical heating coil) 均勻包覆的管子，則 q₀ 為正，如果管子正在被冷卻，則 q₀ 必需為負值。

如 Fig. 10.8-1 所述，求解強制對流之熱傳問題的第一步為計算系統的流速分佈 (velocity profiles)。藉由對管流進行殼均衡方法 (shell balance method) 所得到的速度分佈為 v_r = 0、v_θ = 0 以及 (見 §2.3)

(10.8-1)

當自入口往下的距離遠大於入口距離時 (entrance length)，Eq. 10.8-1 的抛物線分佈 (parabolic distribution) 將是有效的。

Figure 10.8-2

在這個問題中，熱在 r 和 z 的方向被傳遞，因此，對於能量平衡我們使用墊圈形狀系統 (washer-shaped system)，此墊圈是由厚度 △r 的環狀區域與厚度 △z 的平板相交所形成 (見 Fig. 10.8-2)。在這個問題中，我們處理的是一個流動流體，因此合併能量通量向量 e (combined energy flux vector) 的所有項都將被保留，在能量平衡式中的各種貢獻分別如下

(10.8-2, 3, 4, 5, 6)

最後一個貢獻 (10.8-6) 是重力作功於環內液體的變化率，也就是單位體積的力 ρg_z 乘上體積 2πr△r△z，再乘上流體向下的速度 v_z。能量的平衡可以透過加總這些貢獻並令其為零，再接著除以 2π△r△z 可得到

(10.8-7)

當 △r 和 △z 趨近於零，可以得到

(10.8-8)

因為重力向量作用在 +z 方向，所以 g_z 的下標 z 已被忽略 。

接著我們使用 Eqs. 9.8-6 和 9.8-8 寫下合併能量通量向量的 r 和 z 分量之表示式，並且利用已知的事實，即 v 向量的非零分量為軸向分量 v_z

(10.8-9, 10)

將這些通量表示式代入 Eq. 10.8-8 並已知 v_z 僅是 r 方向的函數，經整理後可得

(10.8-11)

上式的第二個中括號為零 (運動方程式的 z 分量；Eq. 3.6-4)。+μ(∂v_z/∂r)² 是黏滯加熱 (viscous heating)，但我們在此忽略之。第一個中括號的最後一項有關於軸向的熱傳導，因為我們從經驗知道相較於軸向熱對流，它通常很小，也將被忽略。因此，我們將求解的式子為

(10.8-12)

此偏微分方程式 (partial differential equation) 經求解後，將描述流體溫度是 r 和 z 的函數。其邊界條件為

(10.8-13, 14, 15)

我們接著將此問題轉換成無因次的形式 (dimensionless form)，無因次量的選擇可以是任意的，這裡我們選擇

(10.8-16, 17, 18)

一般來說，我們試著選取適當的無因次量，使最後的問題算式具有最少的參數。在此問題，ξ = r/R 是很自然的選擇，因為 r/R 已經出現在微分方程式 (10.8-12)；無因次溫度的選擇是因為第二和第三個邊界條件。當確認這兩個無因次變數後，無因次軸座標也很自然決定了。

最後，無因次形式的問題算式變成

(10.8-19)

其邊界條件為

(10.8-20, 21, 22)

此偏微分方程式 (10.8-19) 結合這些邊界條件已被解出，但這裡我們並沒有提供完整的解答。

然而，若是能得到 ζ 值很大的漸近解 (asymptotic solution)，將會非常具啟發性，這是因為當流體足夠遠離一開始的加熱段，我們預期管壁的固定熱通量將造成流體溫度的上升並與 ζ 呈線性。我們也預期溫度曲線的形狀 (是 ξ 的函數) 將隨著 ζ  的增加，而不再有進一步的變化 (只有向上平移)，見 Fig. 10.8-3。因此，當 ζ 值很大時，下方形式的解是合理的

(10.8-23)

其中，C₀ 是接下來要決定的常數。

Figure 10.8-3

Equation 10.8-23 很明顯不是這個問題的完全解答 (complete solution)，它雖允許偏微分方程式和邊界條件一和二被滿足，但並不滿足邊界條件三。因此，我們將後者取代為一個積分條件 (見 Fig. 10.8-4)

(10.8-24)

或者無因次的形式

(10.8-25)

這個條件表示在一段距離為 ζ，透過管壁進入管中的能量等於，在位置 ζ 通過截面離開的能量和在 ζ = 0 進入的能量差。

將假定的函數 Eq. 10.8-23 代入 Eq. 10.8-19 得到下方 Ψ 的常微分方程式 (見 Eq. C.1-11)

(10.8-26)

這個方程式可以對 ξ 積分兩次並將結果代至 Eq. 10.8-23 可得

(10.8-27)

三個常數可由 B.C.s 1, 2, 4 決定。

(10.8-28, 29, 30)

將這些值代入 Eq. 10.8-27 可得

(10.8-31)

此結果透露，無因次溫度是無因次徑向和軸向座標的函數，當 ζ → ∞，Eq. 10.8-31 為精確解 (exact solution)；當 ζ > 0.1，預測準度在 2% 內。

一但溫度分佈已知，我們可以得到各種衍生的物理量。有兩種常用的平均溫度被用來與固定 ρ 與 C_p^{^} 的流動流體連結

(10.8-32, 33)

Erratum (Eq. 10.8-32): reads 7/24 → should read 1/8 

兩個平均溫度都是 z 的函數。<T> 是在位置 z 的截面之算術平均溫度 (arithmetic average temperature)；T_b 是整體溫度 (bulk temperature)，也就是在位置 z 切斷管子，並收集向前噴出的流體於容器中，並徹底混合，這種平均溫度有時稱為杯混合溫度 (cup-mixing temperature) 或流動平衡溫度 (flow-average temperature)。

我們接著估算局部熱傳驅動力 T₀ -T_b，這是在距離 z，壁溫和整體溫度具有的差值

(10.8-34)

其中，D 是管徑。我們可以重排這個結果成為一個無因次管壁熱通量

(10.8-35)

其在第 14 章被識別為 Nusselt number。

在我們結束這節之前，我們指出前面介紹的無因次軸向座標 ζ 可重寫成

(10.8-36)

這裡 D 是管徑、Re 是 Reynolds number (用於本書 Part I)、Pr 和 Pé 分別為 Prandtl 和 Péclet numbers (已於第 9 章介紹)。我們將在第 11 章發現 Re 和 Pr 被預期在強制對流問題出現，這個點將在第 14 章強化並與熱傳係數的關聯進行連結。

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).