流動不穩定性之預測：底波拉數 De

我們都知道，非牛頓流體在低流速下，便有機會形成二次流 (secondary flow) 或紊流 (turbulent flow) 等流動不穩定狀態。Figure 1 為收縮流的實驗，左側為不具彈性的牛頓流體葡萄糖漿 (glucose syrup)，右側為含有高分子 polyacrylamide 的葡萄糖溶液 (0.057% polyacrylamide glucose solution)。在極低的雷諾數下 Re~10^-3，左測牛頓流體呈現層流狀態，但右側的非牛頓流體已開始形成漩渦，且隨 Re 的增大而更加明顯。

牛頓流體力學告訴我們，Re 這個無因次群代表流體的慣性力除以黏滯力之比值，在管道流中，Re 大於 2,100 以後，即會由層流逐漸過渡至紊流，大於 4,000 時即呈紊流。但是在 Fig. 1 的範例中，右側的非牛頓流體在 Re = 10^-3 << 2,100 即呈現紊流狀態，顯見 Re 並不適合用來預測非牛頓流體何時開始發生流動不穩定。

但是，有趣的是，Fig. 1 中提供的底波拉數 De 似乎可作為左側與右側兩種不同流體，由層流過渡至紊流的依據，即

當 De < 1，呈現層流

當 De > 1，呈現紊流

對左側的牛頓流體而言，De << 1，故即便在剪切速率高達 40 1/s 時，仍呈現層流狀態。對右側的非牛頓流體而言，當 De < 1 時，呈現層流狀態，但是當 De~1 或 De > 1 時，開始呈現不穩定狀態。

故我們結論，De 這個無因此群，可作為流體因彈性效應造成流動不穩性的預測。以下我們將針對 De 做進一步介紹。 

Figure 1

De 為流體的彈性力與流體的黏滯力之比值，De 的分子部分，也就是彈性力，其與流體的特徵時間 λ 有關，以最長的分子鬆馳時間代表之；而 De 的分母部分，也就是黏滯力，其與流動系統的特徵時間 t_flow 有關，以觀察流體單元 (fluid element) 的實驗時間代表之 (即流速越大，觀察流體單元流動的時間 t_flow 越小)。 

以 Fig. 2 的收縮流為例，De 為流體的特徵時間 lambda 除以窄管內高流速的特徵流動時間 R/<v>。此時，De 在物理意義的解釋為，分子進行鬆馳與流場進行形變的競爭。

當 De < 1，分子的鬆馳速率 > 流場的形變速率時，呈現層流

當 De > 1，分子的鬆馳速率 < 流場的形變速率時，呈現紊流

分子的鬆馳速率取決於流體本身特性 (濃度、分子量或粒徑分散度、可撓性、線性或分支、溫度等)；流場的形變速率取決於流場的種類和強度。即 De 是由流體本身和外在流場所共同決定。

Figure 2

最後我們提及一位預言家於聖經士師記 (Judges) 所說的一句話 "The Mountains flowed before the Lord"，中文譯為在上帝眼中，山是流動的。對比於在人類眼中，山是固定的，確實相互抵觸。但若以 De 作進一步闡述的話，兩種觀點其實都是合理的。即對人類而言，人一生的觀察時間是有限的 (t_flow 小)，且山移動所需的時間很長 (λ 大)，即 De >> 1，故對人類而言，山是不會流動的固體；相反地，對上帝而言，上帝的觀察時間是無窮無盡的 (t_flow 趨近無窮) 且山移動所需的時間便相形小了 (λ 小)，即 De << 1，故對上帝而言，山是會流動的液體；詳見 Fig. 2 的表格對照。

因此，我們結論，世界上沒有所謂的絕對的牛頓流體或絕對的非牛頓流體，端看 De 值的大或小而定。舉例來說，水在絕大多數的情況，可視為牛頓流體，因為其 λ~10^-12 秒，故需在剪切速率高達 10¹² 1/s 以上的極端情況下 (往往無法於實驗上達到)，水才有機會變成非牛頓流體。而對高濃度的高分子流體而言，其在剪切速率趨近於 0 的極端情況下，黏度為固定值，此時反倒可被視為牛頓流體。