廣義線性黏彈性流體 (Generalized Linear Viscoelastic Fluids)

於先前介紹的牛頓本質方程式 (Newtonian constitutive equation) 和廣義牛頓本質方程式 (generalized Newtonian constitutive equation) 中，其應力張量 (stress tensor) 正比於瞬間的剪切速率張量 (shear-rate tensor)，與過去的歷程無關，見 Fig. 1 數學表示式。 

Figure 1

以上兩本質方程式最明顯缺點是，它們均無法預測流體於剪切流場起動 (startup) 或中止 (cessation) 過程之應力過渡行為。實際上，高分子溶液於流場起動的實驗數據如 Fig. 2 所示，在達到穩態黏度之前，有一個持續數秒的過渡行為。

Figure 2

然而，該如何加入這個時間相依的效應 (time-dependent effect) 於暨有的本質方程式中？讓我們建立一個概念性的本質方程式於 Fig. 3。於時間點 t 的應力來自於兩個貢獻，一個貢獻來自於不具記憶效應的牛頓流體，所以和當下時間點 t 的剪切速率有關；另一個貢獻來自於 t₀ 秒以前的流體記憶 (fluid memory)，即和時間點 (t - t₀) 的剪切速率有關，第二個項前的數值 0.8 代表流體只記得 80% 當時發生的事，已忘了 20%。這好比人會忘記部分過去發生的事，且當下的決策仍受殘存記憶影響。

為了讓記憶效應 (memory effect) 的概念更加清楚，我們以下舉一個易懂的日常生活例子。大家應該都使用過柔軟且具彈性恢復力的耳塞，當我們用手指按壓使其變形後，它需要一定的時間，才能恢復原來的形狀。例如，當我們在 t = 0 秒時，以手指快速按壓耳塞使之變形，它需要在 t = 10 秒時，才能恢復其原來形狀，並完全忘記最初的影響。

試想，當我們於耳塞形狀恢復過程中 (t < 10 秒)，例如 t = 5 秒時，再度施力使之變形，故耳塞於 t = 5 秒時，除了感受當下的外力，也仍受到 t = 0 秒時發生的形變之影響。

更精確來說， t = 5 秒時受力後的耳塞性質，取決於兩個貢獻，一個來自於 t = 5 時的當下瞬間施力，另外一個則來自於 t = 0 時所留下的殘存記憶。

Figure 3

接下來，我們分別來看看 Fig. 3 本質方程式於穩態剪切 (steady shear)、剪切起動 (shear start-up) 流場的預測，見 Fig. 4。

(1) 穩態剪切流場

因為考量 fluid memory，所以長時間的穩態黏度額外增加了 0.8 倍；第一及第二正向力係數不受 fluid memory 效應影響而維持零。

(2) 剪切起動流場

當 0 ≤ t < t₀，fluid memory 貢獻為零，故黏度僅受瞬間的剪切速率影響。當 t ≥ t₀，黏度除了受瞬間的剪切速率影響外，還多了 fluid memory 的貢獻，故增加了 0.8 倍。Figure 5 的上圖為預測的起動曲線，呈兩段之應力積累 (two-step buildup)，其與下圖的實驗曲線定性上相似；類似穩態剪切流場，第一及第二正向力係數仍不受 fluid memory 效應影響而維持零。

Figure 4

Figure 5

Reference: FA Morrison, Understanding Rheology (Oxford University Press, 2001).