積分型式的馬克斯威爾方程式 (Maxwell Equation of Integral Form)

使用積分因子方法 (integrating factor method)，可將線性微分方程式 (linear differential equation) 的馬克斯威爾模型 (Maxwell model) 轉換成積分型式。微分與積分型式的 Maxwell 模型分別如下所示

微分型式 (differential version)

積分型式 (integral version)

積分型式的好處是，我們可以清楚看到 Maxwell 方程式的物理意義。即它的被積分函數 (integrand) 等於一個呈指數型衰弱函數 (exponentially decaying function) 乘上一個剪切率張量 (rate-of-strain tensor)，此衰弱函數是 Maxwell 流體的鬆弛模數 (relaxation modulus)。Maxwell 模型清楚告訴我們，當下時間點 t 的應力 (stress at the present time t)，除了取決於時間點 t 的剪切率外 (rate of strain at time t)，也同時取決於所有過去時間點 t' 的剪切率 (rate of strain at all past times t')，而且各個時間點的加權因子 (weighting factor) 取決於鬆弛模數，當過去的時間點 t' 離當下時間點 t 越久遠時，權重也將越小。因此，我們可透過積分型式的 Maxwell 模型，看出其具有衰弱記憶 (fading memory) 的概念，即流體對剛剛發生的事件記憶猶新，卻對過去的事件漸趨淡忘。

我們人類對過去的記憶亦如同 Maxwell 流體，可以確定的是，每個人在不同階段經歷的歷史，將對我們現在的反應或想法具有影響力。

[註：若欲了解積分型式的馬克斯威爾方程式是如何由微分型式推導而來，請參閱 RB Bird, RC Armstrong, O Hassager, Dynamics of Polymeric Liquids, Vol 1 Fluid Mechanics, 2nd ed (Wiley-Interscience 1987), pp. 256-257]