微分型式的馬克斯威爾方程式 (Maxwell Equation of Differential Form)

虎克定律 (Hooke's law) 可用於描述彈性固體 (elastic solid)，而牛頓黏度定律 (Newton's law of viscosity) 用於黏性液體 (viscous liquid)，其各別表示式見 Fig. 1。


Figure 1

1867 年 James Clerk Maxwell 提出馬克斯威爾方程式 (Maxwell equation) 如下，此方程式同時結合彈性以及黏性的效應。於穩態時 (時間相關的項為零) 或長時間下，馬克斯威爾方程式變成牛頓黏度定律；反之，於短時間且快速運動下應力驟變，時間微分項遠大於應力項，馬克斯威爾方程式變成虎克定律，故此方程式可描述黏彈性流體 (viscoelastic fluids) 的行為。然而，因為虎克定律僅適用於無限小位移梯度 (infinitesimal displacement gradient)，故馬克斯威爾方程式亦僅適用於小的應變情況下。此外，因為馬克斯威爾方程式為一個純量方程式 (不是張量)，故僅適用於簡單的剪切流場 (simple shear flow)。

至於馬克斯威爾方程式背後的物理意義呢？簡單來說，串聯一個彈簧 (spring) 和一個緩衝筒 (dashpot)，如 Fig. 2。彈簧代表黏彈性流體之彈性反應，緩衝筒則代表黏性反應。當受力時，位移量是相加的，也就是 D_total = D_spring + D_dashpot。

Figure 2

對於彈簧，回復力正比於位移量 (D_spring)；對於緩衝筒，阻力正比於位移速率 (D_dashpot/dt)，見 Fig. 3。將兩表示式代入 D_total 後，最後可得到一個類似馬克斯威爾方程式的結果，見 Figs. 3 和 4。這裡介紹的馬克斯威爾方程式是純量的微分方程式，它有兩個參數，分別為流體的鬆弛時間 λ (= η₀/G) 和零剪切黏度 η₀，其中 G 為彈性模數 (elastic modulus)。然而，純量的馬克斯威爾方程式可直接類推成張量的型式，並用於各式流場 (all flows)。

Figure 3

Figure 4

Reference: FA Morrison, Understanding Rheology (Oxford University Press 2001).