動態機械分析之扭力試驗 (Dynamical Mechanical Analysis: Torsion Test)

扭力試驗 (torsion test) 經常於旋轉流變儀 (rotational rheometer) 上進行，然而，當進行扭力試驗時，我們需在流變儀上更換成專屬的扭力夾具 (fixture) 配件。樣品的幾何形狀主要有兩種，一種為細長的圓柱 (slender cylinder; Fig. 1 右圖) 或棒狀 (rod)，另一種為矩形條 (rectangular bar; Fig. 2)。當碰到下述情況時，我們傾向使用扭力夾具而不是常見的雙平行板夾具 (parallel plates) 或錐平板夾具 (cone-and-plate geometry)。(i) 低溫時，樣品接近固態狀，易發生壁滑現象 (wall slip)；(ii) 雙平行板的直徑過大，造成力矩 (torque) 超過儀器上限；(iii) 轉換器力移比 (transducer compliance) 過大。

Figure 1 圓柱狀試片

Figure 2 矩形條試片

我們先假定一個圓盤樣品 (disk-shaped sample) 如 Fig. 1 圖左，一般而言，我們需透過幾何常數 (geometry constants) 連結材料參數 (material parameters；應變 γ 與應力 σ) 與流變儀響應 (rheometer response；旋轉角度 θ 與力矩 M) ，即材料參數 = 儀器參數 × 幾何常數，應變幾何常數 Kγ 與應力幾何常數 Kσ 分別如下

(1, 2)

其中，R 是圓盤的半徑、h 是樣品的厚度。如果圓盤樣品延伸成棒狀 (rod) 如 Fig. 1 圖右，此時，厚度 h 變成圓柱的長度 l，扭轉 D (twist) 可定義成

D = θ / l     (3)

對圓柱或棒狀材料，其剪切模數 G 與扭轉度 D 和力矩 M 的關係為

(3)

其中，J_t 是極慣性矩 (polar moment of inertia)。因此，由 Eq. 3 可知，若需求得模數 G，我們需知道樣品 (或夾具) 的尺寸、旋轉角度、力矩。基本上，當扭轉度很小時，材料仍在線性區間，則使用扭力夾具和使用雙平行板夾具 (剪切實驗) 非常相似，即應力的分佈隨半徑由內向外呈線性增加 (Fig. 1 圖左上角或 Fig. 3a) 且對稱於中心軸，因此，無需對 Eq. 3 進行任何修正，便可得到正確的模數值。

Figure 3 應力分佈曲線

然而，對於矩形條的材料，情況較為複雜。如 Figs. 2 和 3b 所示，應力的分佈呈非線性，且等應力線 (stress contour) 並沒有對稱於中心旋轉軸。為此，De Saint Venant 針對試樣幾何 (specimen geometry)，即寬度與厚度的比值 u (= w/t; width-to-thickness aspect ratio)，提出剪切模數的修正如下

(4)

Equation 4 的 g_sv(u) 是修正後的極慣性矩，而修正的程度與 u 值大小有關。

欲了解針對矩形條樣品的另一個修正，也就是，夾具效應 (clamping effect)，請參考下方文獻 [Dessi et al. (2016)]。簡單來說，因為樣品的兩端是被夾具緊緊夾住的，這種夾擠效應會抑制試片的翹曲 (warp)，且造成樣品扭力剛性 (torsional stiffness) 增加，因此實際測到的剪切模數會較大。為了修正這個效應，計算時必需使用修正後的樣品長度 (較短) 而不是實際的樣品長度 (較長)。

Reference: 

1. A Frank, "Evaluation of the Correct Modulus in Rectangular Torsion," (TA Instruments).

2. C Dessi, GD Tsibidis, D Vlassopoulos, MD Corato, M Trofa, G D'Avino, PL Maffettone, and S Coppola, "Analysis of dynamic mechanical response in torsion," J Rheol 60, 275 (2016).