非線性黏彈性模型 (Nonlinear Viscoelastic Model): Part 2

Revised: 2022/2/25

似線性黏彈模型 (quasi-linear viscoelastic model) 雖然能夠描述時間相依的流場 (time-dependent flows)，卻無法非常正確表現典型高分子溶液和熔體之流變性質。例如，此類模型預測的缺陷包括: (i) 於穩態剪切流場下之黏度 (viscosity)、正向應力係數 (normal stress coefficients) 為常數；(ii) 於有限拉伸率 (elongation rates) 下之拉伸黏度 (elongational viscosity) 為無窮大。因此，我們將陸續介紹幾種方法，得到更能代表真實流體數據之本質方程式，這裡先介紹第一種方法，即不變量之納入 (inclusion of invariants)。

對於廣義牛頓流體 (generalized Newtonian fluid)，黏度被允許取決於應變率張量的二階不變量 II (second invariant of the rate-of-strain tensor)。因此，可以合理修改 Eq. 7.2-1 加入剪切率之相依性

(7.2-1)

White-Metzner model 便是透過此概念得到的本質方程式。White-Metzner model 是源於修改 upper convected Maxwell model 而來的。原始的 upper convected Maxwell model 為

其中，τ₍₁₎ 和 γ₍₁₎ 分別為應力張量的對流時間導數 (convected time derivative of stress tensor) 和第一應變率張量 (the first rate-of-strain tensor)。[註： γ₍₁₎ = γ̇ ]

(7.1-1)

&(6.1-5 & 6.1-2)

White-Metzner model 的本質方程式如下 

(7.3-1)

其中，G 是常數模數。此模型的幾個代表性物質函數 (material functions) 列於 Table 7.3-1。這個模型的好處是相對簡單，但卻能合理預測黏度和第一正向力係數之剪切率相依性。它可被用在快速、時間相依的運動，只是其預測並非完全合理。此源於小位移梯度 (small displacement gradients) 下缺乏線性黏彈極限 (linear viscoelastic limit)。在穩態零剪切流場，此模型預測無限大的拉伸黏度 η₁^-、η₂^- (相同於 convected Maxwell model)。無窮大的拉伸黏度所對應的拉伸率取決於 η(γ̇ ) 的型式。White-Metzner model 可作為探察性的流體動力之計算 (exploratory hydrodynamic calculations)，旨在評估剪切致稀 (shear thinning) 和記憶 (memory) 對流場之交互作用。

當然，我們也可以將三階變量 III 納入模型中，只是較複雜而已。同樣地，我們也可以納入應力的不變量於本質方程式中，例如，以分子為基礎的 Phan-Thien-Tanner model 和 FENE-P model 均含有 tr τ，其模型預測均蠻成功的。

Table 7.3-1 White-Metzner 模型之物質函數

Reference: RB Bird, RC Armstrong, O Hassager, Dynamics of Polymeric Liquids, Vol. 1, Fluid Mechanics, 2nd ed (Wiley-Interscience 1987).