Example 8.4-1: 小振幅振盪運動 (Small-Amplitude Oscillatory Motion))

於小振幅振盪剪切實驗中 (small-amplitude oscillatory shear experiment)，剪切率的表示式為

(8.4-10)

其中，ω 是角頻率。我們知道積分型式的馬克斯威爾模型 (Maxwell model) 為 (張量表示式)

(8.4-9)

接著將 Eq. 8.4-10 的流場代入 Eq. 8.4-9 可得 (這裡僅使用 yx 分量)

(8.4-11)

其中，s = t - t'。我們知道於小振幅振盪運動，應力表示式為

(8.2-4)

若將 Eq. 8.4-11 與 Eq. 8.2-4 相比，我們可得複數黏度 η*(ω) (= η'(ω) - iη"(ω))，其實部 (動態黏度 η') 與虛部分別為

(8.4-12, 13)

若將 Maxwell model 的鬆弛模數 G(t) (= Gexp (-t/λ)) 代入上式並積分可得

(8.4-14, 15)

Equations 8.4-14 和 8.4-15 預測 η'(ω) 和 η"(ω) 均隨 ω 增加而變小，僅與實驗曲線定性吻合。此外，因 η' = G"/ω 和 η" = G'/ω，故儲存模數 G' 和損耗模數 G" 可表示為

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).