§8.4 彈性和線性黏彈模型 (Elasticity and the Linear Viscoelastic Models))

傑弗瑞模型 (Jeffreys Model) 

在馬克斯威爾模型中 (Maxwell model)，應力 (stress) 和速度梯度 (velocity gradient) 是線性關係，並具有一個時間微分的應力項，Maxwell model 方程式如下

(8.4-3)

我們可於 Eq. 8.4-3 中加入一個時間微分的速度梯度項，並維持其原有的線性關係，我們稱之為傑弗瑞模型 (Jeffreys model)

(8.4-4)

在 Jeffreys model 中有三個參數，即零剪切黏度 (η₀) 和兩個時間常數 (λ₁ 和 η)，λ₁ 為流體的鬆弛時間 (relaxation time)，λ₂ 為延遲時間 (retardation time)。

Jeffreys model 的另一種物理解釋方法為，它是牛頓溶劑的應力貢獻 (s) 和高分子的應力貢獻 (p) 之總和 (即 τ = τ_s + τ_p)，且高分子仍為 Maxwell model 所描述，即

(8.4-4a, b)

如果我們將 Eq. 9.4-4a 加上 Eq. 8.4-4b，再加上 λ₁ 乘以 Eq. 8.4-4a 的時間微分，我們便可得到 Jeffreys model (Eq. 8.4-4)，其中 η = η_s + η_p 且 λ₂ = (η_s / (η_s + η_p)) λ₁ 。

廣義的馬克斯威爾模型 (Generalized Maxwell Model)

能夠同時描述具黏性 (viscous) 與彈性 (elastic) 的流體之最簡單方程式為馬克斯威爾模型 (Maxwell model)

(8.4-3)

其中 λ₁ 為流體的時間常數 (鬆弛時間)，η₀ 為零剪切黏度。Maxwell model 最主要的問題在於它無法預測高分子液體剪切致稀的行為 (shear thinning)。 於先前的文章我們已詳細介紹過 Maxwell model 了 (請用關鍵字 "Maxwell" 搜尋本部落格)，這裡介紹其廣義的版本。

若我們將與 Eq. 8.4-3 具相同型式的方程式相加，我們可得到廣義的 Maxwell 模型 (generalized Maxwell model) 如下

(8.4-5, 6)

廣義的 Maxwell model 具有很多的鬆弛時間 λ_k (其中 λ₁ > λ₂ > λ₃ >...) 和很多的常數 η_k (單位為黏度)。由於 Eq. 8.4-6 為線性微分方程式 (linear differential equation)，它具有解析解的積分結果如下 (需假設流體在時間為負無窮遠時是靜止的)

(8.4-9)

由上式可清楚看到黏彈性流體的記憶效應 (memory effect)，即當下時間點 t 的應力值，取決於過去所有時間 t' 的速度梯度 (velocity gradients at all past times t')，且與當下時間點 t 的時間差越小時，權重越大，時間差越大時，權重越小。Equation 8.4-9 中的 G(t - t') 被稱為流體的鬆弛模數 (relaxation modulus) ，能夠反應流體的記憶效應，可由線性黏彈實驗測得。

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).