Upper Convected Maxwell Model 於穩態剪切流場之物質函數 (Steady-State Material Functions Predicted by Upper Convected Maxwell Model)

馬克斯威爾模型 (Maxwell model) 能夠定性描述幾個重要的黏彈性現象，例如，瞬間施予流體一個應變之後的應力鬆弛 (stress relaxation)，以及應力移除後的彈性恢復 (elastic recovery)。Maxwell model 的本質方程式為

(1)

然而，Maxwell model 僅適用於極小的剪切率或極小應變之情況，即線性黏彈性區間 (linear viscoelasticity)，此乃因 Maxwell model 基於虎克彈性體僅受到極小位移梯度 (infinitesimally small displacement gradient) 之前提。

為了克服上述限制，Oldroyd [1950] 廣義化原始的 Maxwell model 成為 (upper) convected Maxwell model 如下

(2)

Equation 2 修正 Eq. 1 的偏微分成為對流微分。於 Eq. 2 中，軸差應力張量 (deviatoric stress tensor) 之反變對流時間導數 τ₍₁₎ (contravariant convected time derivative) 被定義為

(3)

在穩態剪切流場下，將 Eq. 3 以及應變率張量 (rate-of-strain tensor) 代入 Eq. 2，經向量張量處理後，最終可得以下物質函數

(4, 5, 6)

另一方面，若將 Eq. 3 換成軸差應力張量之協變對流時間導數 τ⁽¹⁾ (covarient convected time derivative)，則可得以下物質函數

(7, 8, 9)

實驗結果指出第二正向力差值 N₂ 遠小於第一正向力差值 N₁ (即 - N₂/N₁ = 0.2–0.3)，因此，流變領域的人使用 convected Maxwell model (Eq. 2) 時，大都採用 contravariant convected time derivative (Eq. 3)，並習慣稱之為 upper convected Maxwell model。但是由 Eqs. 4 到 6 可看出， upper convected Maxwell model 的三個預測都不是正確的，此模型的預測為 (i) 黏度無剪切致稀的行為；(ii) N₁ 總是正比於剪切率的平方； (iii) N₂ = 0。事實上，大部分的實驗結果告訴我們， (i) 在高剪切率時黏度會有剪切致稀現象 (shear thinning)；(ii) 在低剪切率時，N₁ 正比於剪切率的平方，但是在高剪切率時，將正比於剪切率的 n 次方 (1 < n < 2)；(iii) N₂ 小於 N₁，但不為零。

Reference: 
1. CD Han, Rheology and Processing of Polymeric Materials, Vol. 1, Polymer Rheology (Oxford University Press 2007)
2. T Osswald, N Rudolph, Polymer Rheology: Fundamentals and Applications (Hanser 2015).