微分黏彈模型 (Differential Viscoelastic Models)

於高分子加工中，流體材料通常經歷很大的形變 (large deformations)，因此需要使用非線性黏彈模型 (nonlinear viscoelastic models) 描述流體的行為。黏彈模型有兩種型式，分別為微分型 (differential type) 和積分型 (integral type)，以下簡短介紹微分型。

傳統上，微分型式的模型常被用來描述高分子於複雜流動系統的黏彈行為，很多微分型黏彈模型可以用下方一般式表之 

(1)

其中，τ₍₁₎ 是軸差應力張量 (deviatoric stress tensor) 的第一反變對流時間導數 (first contravariant convected time derivative)，它代表相對於與流體一同移動和變形的對流座標系統之變化率 (rates of change w.r.t. a convected coordinate system that moves and deforms with the fluid)，τ₍₁₎ 定義如下

(2)

對於常被用來模擬高分子流動的各種黏彈模型，Table 1 整理了 Eq. 1 中的常數。以下針對各種黏彈模型進行簡要描述。

Upper convected Maxwell 模型和 White-Metzner 模型非常相似，只是後者額外考慮剪切率對鬆弛時間 (relaxation time) 和黏度 (viscosity) 的效應。兩種模型預測第二正向力係數為零。

Giesekus 模型 [1982] 是以分子為基礎而且應力是非線性的，計算時僅需三個參數 (零剪切率黏度、鬆弛時間、α)，便可以描述冪次律區間 (power-law region)，黏度和第一、第二正向力係數隨剪切率增加而導致的剪切致稀行為 (shear thinning behavior)，Giesekus 模型亦能給予拉伸黏度、複數黏度合理的描述。Bird 等學者賦予這個模型分子角度之解釋，即 Giesekus 模型是一個以虎克啞鈴 (Hookean dumbbells) 為分子模型描述組成高分子行為之平均場理論 (mean-field theory)。

Phan-Thien and Tanner (PTT) 模型 [1977] 有四個參數，是自網狀結構理論 (network theory) 引伸而來的，而且應力也是非線性的。Giesekus 模型預測拉伸黏度隨拉伸率 (elongation rate) 單調遞增，而 PTT 模型則預測拉伸黏度存在一個最大值。目前為止，Giesekus 模型和 PTT 模型已被成功且廣泛應用於模流計算。

Table 1 Equation 1 的常數定義

Reference: T Osswald, JP Hernandez-Ortiz, Polymer Processing: Modeling and Simulation (Hanser 2006).