§8.5 非線性黏彈性模型 (Nonlinear Viscoelastic Model): Part 1

我們都知道有一個假設是非常合理的，那就是，如果我們量測橡膠帶 (rubber band) 的應力與應變之關係，量測結果是不會因為我們是沿南北的方向拉伸橡膠帶，或沿東西的方向拉伸而不一樣，也不會因為我們量測時處於旋轉的狀態而改變實驗結果 (前題是旋轉速度緩慢，離心力不至影響結果)。若接受了這個假設，我們該如何在建構模型時將之實現? 有一種實現此合理假設的方法為，在每個流體粒子 (fluid particles) 引入一個共旋座標系 (corotating coordinate frame)，當這個正交的座標系跟著流體粒子在空間中移動時，座標系會隨著局部瞬間角速度而旋轉，如 Fig. 8.5-1 所示。據此，我們可以得到幾個非線性黏彈性模型 (nonlinear viscoelastic models)，簡單介紹如下。

Fig. 8.5-1共旋座標系 (corotating frame) 的概念

Oldroyd 6-constant model 滿足上述假設，也就是說，模型的預測不會因為流體粒子在空間中之局部瞬間方向性而改變 (i.e., no dependence on the local instantaneous orientation of the fluid particles in space)。Oldroyd 6-constant model 的方程式為

(1)

其中， λ₁、λ₂、μ₀、μ₁、μ₂ 是單位為時間的常數，

(2)

為二階張量 α 的共旋時間導數 (corotational time derivative)，

(3)

為渦度張量 (vorticity tensor)，D/Dt 為實質時間導數 (substantial time derivative)。6-constant model 雖然是一個經驗模型 (empirical model)，但是如果能適當決定模型參數，則大部分高分子流體力學觀察到的現象均可被其定性描述。因此，Oldroyd 6-constant model 經常被用於探索性質之流體力學計算。Oldroyd 6-constant model 可簡化成三個參數的模型，稱之為 Oldroyd-B model，在此簡化的模型中，μ₁ = λ₁、μ₂ = λ₂、μ₀ = 0。

另一個非線性黏彈性模型是 3-constant Giesekus model，它包含一個二次的應力分量 (quadratic in the stress components)

(4)

其中，λ 是時間常數，η₀ 是零剪切黏度，α 是無因次的參數。此模型對大部分的物質函數 (material functions) 均能合理地描述其曲線形狀，於各式流場下，Giesekus model 的解析表示式見 Table 8.5-1 。若將不同模式下 (modes) 的 Giesekus model 疊合，幾乎可定量描述物質函數，因此 Giesekus model 常被用於流體力學的計算。

Reference: RB Bird, WE Stewart, EN Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed (Wiley 2002).